高一數學立體幾何基礎題題庫(文件)

　

【正文】 O＝３０176。 ∵PH⊥平面ABC，∴HM為PM在平面ABC上的射影，則∠PMH為PM與平面ABC所成的角，∴tan∠PMH＝380. 如圖，在正四面體ABCD中。點Ｐα，PA=PB=PC=7, AB=10, 則點P到平面α的距離等于 解析：．∵PA＝PB＝PC,∴P在平面α內的射影為△ABC的外心Ｏ，∵∠C＝90176。∴△ACD是等邊三角形，取CD中點E連AE、PE，則AE⊥CD，PE⊥CDAE⊥CD，PE⊥CD ∴CD⊥平面PAE ∴CD⊥PA389. 設P點在正三角形ABC所在平面外，且AP，BP，CP兩兩垂直；又是的重心；為上一點，；為上一點，；，如圖(1)求證：GF⊥平面PBC；(2)求證：EF⊥BC。, 即PB與平面BCD所成角為45176。解析：如圖，正四棱錐P—ABCD的一個對角面△PAC。角。C1H=CH解析：因結論是線線垂直，可考慮用三垂線定理或逆定理∵ ∠ACB=900∴ ∠A1C1B1=900即B1C1⊥C1A1又由CC1⊥平面A1B1C1得：CC1⊥B1C1∴ B1C1⊥平面AA1C1C∴ AC1為AB1在平面AA1C1C的射影由三垂線定理，下證AC1⊥A1M即可在矩形AA1C1C中，AC=A1C1=，AA1=CC1=∵ ，∴ ∴ Rt△A1C1M∽Rt△AA1C1∴ ∠1=∠2又∠2+∠3=900∴ ∠1+∠3=900∴ AC1⊥A1M∴ AB1⊥A1M評注：利用三垂線定理的關鍵是找到基本面后找平面的垂線396. 正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為a，在側棱BB1上截取BD=，在側棱CC1上截取CE=a，過A、D、E作棱柱的截面ADE （1）求△ADE的面積；（2）求證：平面ADE⊥平面ACC1A1。解析：三棱錐P—OBC的側面由△POB、△POC、△PBC三個三角形組成在求出邊長元素后，求三角形面積時，應注意分析三角形的形狀，簡化計算∵ PA⊥平面ABC∴ PA⊥AO，AC為PC在平面ABC上的射影∵ BC⊥AC∴ BC⊥PC△ POB中，△ PBC中，BC=ABsin600=2a∴ AC=a∴ PC=∴ △ POC中，PO=PC=，OC=a∴ ∴ S側=399. 四棱錐V—ABCD底面是邊長為4的菱形，∠BAD=1200，VA⊥底面ABCD，VA=3，AC與BD交于O，（1）求點V到CD的距離；（2）求點V到BD的距離；（3）作OF⊥VC，垂足為F，證明OF是BD與VC的公垂線段；（4）求異面直線BD與VC間的距離。解析：∵A1A=A1B=A1C∴ 點A1在平面ABC上的射影為△ABC的外心，在∠BAC平分線AD上∵ AB=AC∴ AD⊥BC∵ AD為A1A在平面ABC上的射影∴ BC⊥AA1∴ BC⊥BB1∴ BB1C1C為矩形，S=BB1BC=156取AB中點E，連A1E∵ A1A=A1B∴ A1E⊥AB∴ ∴ ∴ S側=396401. 如圖，在ΔABC中，∠ACB＝90176。即CD是∠ACB的平分線時，AB有最小值，最小值為.，求證：它們所成的角與二面角的平面角互補.已知：從二面角α—AB—β內一點P，向面α和β分別引垂線PC和PD，：∠CPD和二面角的平面角互補.證：設過PC和PD的平面PCD與棱AB交于點E，∵PC⊥α，PD⊥β∴PC⊥AB，PD⊥AB∴CE⊥AB，DE⊥AB又∵CEα，DEβ，∴∠CED是二面角α—AB—β的平面角.在四邊形PCED內：∠C＝90176。sin∠AFC，得：＝＝定值.404. 如果直線l、m與平面α、β、滿足l＝β∩，l∥α,mα和m⊥.那么必有( )⊥且l⊥m ⊥且m∥β∥β且l⊥m ∥β且α⊥解析：∵mα,m⊥. ∴α⊥.又∵m⊥,β∩＝l. ∴m⊥l.∴應選A.說明 本題考查線面垂直、面面垂直及綜合應用推理判斷能力及空間想象能力.405. 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝a,AD＝3a,且∠ADC＝arcsin，又PA⊥平面ABCD，AP＝：(1)二面角P—CD—A的大小(用反三角函數表示)；(2)點A到平面PBC的距離.解析：(1)作CD′⊥AD于D′，∴ABCD′為矩形，CD′＝AB＝a，在RtΔCD′D中.∵∠ADC＝arcsin,即⊥D′DC＝arcsin，∴sin∠CDD′＝＝∴CD＝a ∴D′D＝2a∵AD＝3a,∴AD′＝a＝BC又在RtΔABC中，AC＝＝a,∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD，PA⊥AB.在RtΔPAB中，可得PB＝a.在RtΔPAC中，可得PC＝＝a.在RtΔPAD中，PD＝＝a.∵PC2+CD2＝(a)2+(a)＝8a2＜(a)2∴cos∠PCD＜0，則∠PCD＞90176。即二面角α—l—β的大小為45176。求AC′與平面BCC′B′所成角的大小.(用反三角函數表示)解析：(1)∵在三棱柱ABC—A′B′C中，C′B′∥CB，∴CB⊥AB.∵CB⊥BB′，AB∩BB′＝B，∴CB⊥平面A′AB.∵CB平面CA′B，∴平面CA′B⊥平面A′AB(2)由四邊形A′ABB′是菱形，∠ABB′＝60176。圈上有A、B兩點，它們的經度差為，求球面上A、B兩點間球面距離.解析：本題關鍵是求出∠AOB的大小，(如圖1)，以O1O，O1A，O1B為三條相互垂直的棱，可構造一個長方體，問題轉化為長方體截面ABO內求∠BOA的問題.解： 如圖2，∵∠O1OA＝＝∠O1OB，OA＝OB＝R，∴OO1＝O1A＝O1B＝R ∴AB2＝O1A2+O1B2＝R， ∴ΔAOB為等邊Δ， ∴∠AOB＝，A、B間的球面距離為R.422. 一個圓在平面上的射影圖形是( ) 解析：D423. 兩面都是凸形的鏡中，它的面都是球冠形，球半徑分別為10cm和17cm，兩球心間的距離為21cm，求此鏡面的表面積和體積.解析：軸截面如圖，設O2C＝x，則CO1＝21x,∵AB⊥O1O2 ∴AO22O2C2＝AO12CO12，即102x2＝172(21x)2，解得x＝6,CO1＝15,又設左邊球缺的高為h1,右邊的球缺高為h2，則h1＝1715＝2,h2＝106＝4,∴S表＝2π(17174)］＝288π(cm3).424. 正三棱錐的底面邊長是2cm，側棱與底面成60176。＝2,PA＝，而AP⊥AE，∴PA2＝PD圓的中心，∵A、B都在此圓上，∴O1A＝O1B＝R.∵A、B的球面距離為，∴∠AOB＝＝＝,ΔAOB為等邊三角形.AB＝R，在ΔAO1B中，∵O1A2+O1B2＝R2+R2＝R2＝AB2，∴∠AO1B＝90176。＝R6.∴V≤R3.即 V最大＝R3.評析：定值問題可用特殊情況先“探求”，如本題(1)若先考慮PAB是大圓，探求得定值4R2可為(1)的證明指明方向.球面上任一點對球的直徑所張的角等于90176。AH，∴r＝AH＝a,設外接球心為O，半徑R，過A點作球的半徑交底面ΔBCD于H，則H為ΔBCD的外心，求得BH＝a,AH＝a,由相交弦定理得a(2Ra)＝(a)2.解得R＝a.：球的任意兩個大圓互相平分.證明：因為任意兩個大圓都過球心O，所以它們必交于過球心的直徑，這條直徑也是兩個大圓的公共直徑，所以任意兩個大圓互相平分.，.解： 如圖，設球的半徑為R，∵πO2B2＝49π， ∴O2B＝7同理 O1A＝20設OO1＝xcm，則OO2＝(x+9)cm.在RtΔOO1A中，可得R2＝x2+202在RtΔOO2B中，可得R2＝72+(x+9)2∴x2+202＝72+(x+9)2解方程得 x＝15cmR2＝x2+202＝252∴S球＝4π．　　（4）∵ ⊥平面，∴ 與平面所成的角為90176。∴ ，∴ ．447. 如圖931，SA、SB、SC三條直線兩兩垂直，點H是S在平面ABC上的射影，求證：H是△ABC的垂心．解析：∵ SC⊥SA，SC⊥SB，且SA∩SB=S，∴ SC⊥平面SAB，∴ AB⊥SC．∵ H是S在平面ABC上的射影，∴ SH⊥平面ABC．連結CH，CH為SC在平面ABC上的射影，∵ AB⊥SC，由三垂線定理的逆定理可知CH⊥AB，即CH為AB的垂線．同理AH⊥BC，即AH為BC邊的垂線．H為△ABC兩條垂線的交點，∴ H為△ABC垂心．448. 如圖932，△ABD和△ACD都是以D為直角頂點的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60176。求直線PC與平面PAB所成的角的余弦值．解析：如圖答922，在PC上任取一點D，作DH⊥平面PAB于H，則∠DPH為PC與平面PAB所成的角．作HE⊥PA于E，HF⊥PB于F，連結PH，DE，DF．∵ EH、FH分別為DE、DF在平面PAB內的射影，由三垂線定理可得DE⊥PA．DF⊥PB．∵ ∠DPE=∠DPF，∴ △DPE≌△DPF．∴ PE=PF．∴ Rt△HPE≌Rt△HPF，∴ HE=HF，∴ PH是∠APB的平分線．設EH=a，則PH=2EH=2a，．在Rt△PDE中，∠DPE=60176。z＝xyz＝說明 對棱相等的四面體各面是全等的銳角三角形，本題采用了體積分割法，轉化法求體積. 34 。∴ ．由勾股定理可知，∠BDC=90176。．445. 如圖929，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點．求證：MN⊥AB．圖929解析：連結AC，取AC中點O，連結OM，ON．由OM∥BC，得OM⊥AB．又NO∥PA，且PA⊥AB，故NO⊥AB．由此可得AB⊥平面OMN．因此MN⊥AB．446. 如圖930，直線a、b是異面直線，它們所成角為30176。(a)2＝3πa2.435. 圓柱形容器的內壁底半徑為5cm，兩個直徑為5cm的玻璃小球都浸沒于容器的水中，若取出這兩個小球，則容器內的水面將下降 cm.解析：球的體積等于它在容器中排開水的體積.解： 設取出小球后，容器水平面將下降hcm，兩小球體積為V球＝2π52h,V1＝ V球即 25πh＝π ∴h＝cm.∴應填.436. 空間四邊形ABCD的四條邊相等，那么它的兩條對角線AC和BD的關系是（　）．　　A．相交且垂直 B．相交但不垂直　　C．不相交也不垂直 D．不相交但垂直解析：D．取BD中點O，則BD⊥AO，BD⊥CO，故BD⊥平面ACO，因此BD⊥AC．437. 已知a、b是異面直線，那