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第3章-32-323導數的四則元算法則-預覽頁

2025-12-18 17:15 上一頁面

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【正文】式進行求解．已知函數 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ( m ＋ 1) x ＋ 2 m 是偶函數，且 f ( x ) 在 x ＝ 1 處的切線方程為 ( n － 2) x － y － 3 ＝ 0 ，則常數 m ， n 的積等于 _ _ _ _ _ _ _ _ ．【解析】函數為偶函數，所以有 m ＋ 1 ＝ 0 ， m ＝－ 1. 所以 f ( x )＝ x2－ 2 ， f ′ ( x ) ＝ 2 x ，所以在 x ＝ 1 處的切線斜率為 f ′ ( 1 ) ＝ 2 ，切線方程為 y ＝ ( n － 2) x － 3 ，即 n － 2 ＝ 2 ， n ＝ 4 ，所以 mn ＝－ 4. 【答案】－ 4 導數的綜合應用已知直線 l 1 為曲線 y ＝ x2＋ x － 2 在點 ( 1 , 0 ) 處的切線，l 2 為該曲線的另一條切線，且 l 1 ⊥ l 2 . ( 1 ) 求直線 l 2 的方程； ( 2 ) 求由直線 l 1 ， l 2 和 x 軸所圍成的三角形的面積．【思路探究】求 y ′ | x ＝ 1 即 l 1 的斜率 → 求 l 2 的斜率 → 求切點坐標 → 寫出 l 2 的方程 → 求 l 1 與 l 2 的交點，進而求三角形的面積【自主解答】 ( 1 ) ∵ y ′ ＝ 2 x ＋ 1 ， ∴ 直線 l1的斜率為 k ＝ 2 1＋ 1 ＝ 3 ，方程為 y ＝ 3 x － 3. 設直線 l2與曲線 y ＝ x2＋ x － 2 切于點 A ( a ， a2＋ a － 2) ，則 l2的方程為 y ＝ (2 a ＋ 1) x － a2－ 2 ，因為 l1⊥ l2，則有 2 a ＋ 1 ＝－13， a ＝－23. 所以直線 l2的方程為 y ＝－13x －229. ( 2 ) 解方程組????? y ＝ 3 x － 3y ＝－13x －229，得????? x ＝16y ＝－52. 所以直線 l1和 l2的交點坐標為????????16，－52， l 1 ， l 2 與 x 軸的交點坐標分別為 ( 1 , 0 ) ，????????－223， 0 ，所以所求三角形的面積 S ＝12????????1 －????????－223????????－52＝1 2 512. 利用導數的幾何意義解決復雜函數的切線問題是高中數學的熱點，在解題中導數是解題的工具，應熟練掌握應用導數公式及導數的四則運算法則求已知函數的導數．已知函數 f ( x ) ＝ x ， g ( x ) ＝ a l n x ， a ∈ R . 若曲線 y ＝ f ( x ) 與曲線 y＝ g ( x ) 相交且在交點處有相同的切線，求 a 的值及該切線的方程．【解】 f ′ ( x ) ＝12 x， g ′ ( x ) ＝ax( x 0 ) ，由已知得????? x ＝ a l n x12 x＝ax，解得 a ＝e2， x ＝ e2， ∴ 兩條曲線交點的坐標為 (e2， e) ．切線的斜率為 k ＝ f ′ (e2) ＝12e， ∴ 切線的方程為 y － e ＝12e( x － e2) ，即 x － 2e y ＋ e2＝ 0. 在求導中對變量與常量的區分有誤求函數 y ＝x x23xco s t ( t 為常數 ) 的導數．【錯解】 y ＝x x23xc o s t ＝12x 1 ＋12－13c o s t ， ∴ y ′ ＝12( x76c o s t ) ′ ＝12[( x76) ′ 183

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