均值不等式的論文-免費閱讀

　　

【正文】 注2：Jensen 不等式： 設μ 是在集Ω 內的σ－代數м 上的正測度，使得μ（ Ω） ＝１，若f 是內的實函數，對所有的x∈Ω，af（ x） b，且φ 是在（ a，b） 上是凸的，則在證數列收斂時,文獻[ 1 ]中引入的不等式, 不易想到, [ 2 ] 中用到二項式展開式,過程較為繁瑣. 然而利用均值不等式結合單調有界定理證明此問題,分析思路清晰,過程簡潔,便于理解.　單調有界定理與均值不等式為討論方便,將文獻[ 1 ]中定理2. 9和文獻[3 ]中的均值不等式引述如下定理1　(單調有界定理) 在實系數中,有界的單調數列必有極限.推論1　在實系數中,遞增有上界的數列必有極限.推論2　在實系數中,遞減有下界的數列必有極限.定理2　(均值不等式) 設 為n個正實數,則有 (其中“ =”當且僅當時成立) .　均值不等式在數列收斂證明中的應用問題一:證明數列收斂證明　由, 猜想數列為單調遞增數列,需證, 即證　　因為.其中 0. 由定理2有 其中≠ 1,故“ =”不成立,所以數列為單調遞增數列,又因為 其中,故“ =”不成立,故,即上式對一切偶數成立, 又為單調遞增數列, 故對一切正整數n, 有 4, 故有上界.根據定理1推論1,數列收斂.下面利用這種方法給出另外兩個問題的證明方法.問題二:證明數列收斂.證明　比較數列前幾項, 猜想數列為單調遞減數列, 下面需要證明, 即.由定理2　下面證明化簡得 ,即顯然成立.故,所以數列為單調遞減數列. 又顯然 0,則數列有下界.根據定理1推論2,數列收斂.問題三:證明數列收斂證明　由猜想數列為單調遞增數列, 需證. 即要證,又.由定理2,所以.　　下面要明證化簡得: ,即有: ,顯然成立.因此, 故數列為單調遞增數列. 又,由問題一知. 所以數列有上界.由定理1推論1,數列收斂.綜上問題的證明過程中,有一定的分析的思路,過程簡潔,比較容易理解.　 要解決實際問題, 需要運用數學模型, 而某些數學模型常用到不等式的知識,. 　例1 　小強家住農村,十月一日國慶節回家,正趕上父親收割莊稼,由于今年大豐收糧食太多,自家糧倉全部裝滿, 還剩下很多. 這時爸爸想出一個主意,決定用一塊長方形木板, 借助兩面成直角的墻,在屋子的墻角處圍成一個直三棱柱的谷倉, 木板可立,可橫. 小強心想,這么多糧食,怎樣圍才能裝最多的糧食呢? 經過測算,小強得出滿意的答案,向父親提供了建議,請你敘述小強的做法. 如果換成任意的兩面墻,如何處理?解　小強用直尺測出木板的長為a ,寬為b ,依題意a b 0.1) 以a 作谷倉的底邊,設為底面三角形的面積, 兩直角邊一個是x , 另一個是y , 則 ,且,當且僅當 時,取“= ”.2) 以b 作谷倉的底面, 同1) 可得, 當且僅當時取“ = ”.又 , ∴故把長方形木板的長邊放在底面, ,可簡解如下:設用矩形長a 作直三棱柱的側棱,寬b 作為底面的一條邊,底面另兩邊長分別是x , y ,體積為V ,則 .,整理得,當且僅當x = y 時取“= ”.如果以矩形木板的寬為b 作側棱, 則當x = y時, ..例2 　制作容積一定的有蓋圓柱形罐頭, 當圓柱高h 和底面半徑r 的比為何值時,使用的材料最省? (不計加工損耗)解　設圓柱的體積為V , 則有, , 則圓柱形罐頭的表面積, 當且僅當, 即 時, 材料最省. 此時有 , ∴ h∶r = 2∶1 ,即圓柱形的高與底面半徑之比為2∶1 時,使用的材料最省.例3 　某公司投資興辦甲、乙兩個分公司, 2001年甲分公司獲得利潤320 萬元, 乙分公司獲得利潤720 萬元,以后每年分公司的利潤甲為上年利潤的 ,而乙是上年利潤的 , 預期目標為兩分公司利潤之和是1600 萬元. 從2001 年初起,1) 哪一年兩分公司獲利之和最小。任意選定一個k值，均是數列的上界。 證明重要極限的存在性。(II )求與的關系。湖北卷) 已知, 則 有( 　　)(A) 最大值 (B) 最小值 (C) 最大值1. (D) 最小值1.分析　本題看似無法使用均值不等式, 但對函數式進行分離,便可創造出使用均值不等式的條件.解　. 當且僅, 即x = 3 時等號成立. 故選(D) . 　乘1例7 　已知x 0 , y 0 , ,求x + y 的最小值.分析　若直接運用均值不等式, 則需使用兩次均值不等式,即由,得xy≥16 ,再由,得x + y ≥8 ,但此時兩次均值不等式中等號成立的條件不一致,從而x + y ≥8 中等號不能成立. 但若將x + y 乘1 ,則只需使用一次均值不等式即可.解　當且僅當,且 ,即x = 3 , y = 6時等號成立,故 　取倒數例8 　已知x 0 ,a ,b 為正常數, 求 的最大值.解析　 , 當且僅當, 　三角代換例9 　求 的最小值.分析不是定值,但由0 x 2 可用三角代換來創造積為定值.解　∵0 x 2 , ∴可設 ,當且僅當即時等號成立,故 　整體代換例10 　已知a ，b, c 為△A B C 的三邊長,求的最小值.分析　本題似乎不能運用均值不等式, 但通過整體代換便可創造出使用均值不等式的條件.解　令b + c a = x , c + a b = y , a + b c = z ,則x , y , z 0 ,且, , .∴當且僅當x = y = z 即a = b = c 時等號成立. 故.評注　通過換元, 把陌生的結構轉化為重要不等式的形式,證題思路自然流暢. 　對偶代換例11 　已知,且x + 2 y = 1 ,求的最小值.證明　∵, x + 2 y = 1 , ∴ 可設, ,則當且僅當, 即 , , 時等號成立. 故的最小值為. 　公差代換例12 　若a , b 是正實數, 且a + b = 1 , 求 的最小值.解　∵a + b = 1 , ∴a , , b 是等差數列,設公差為d ,則,∴∴ d = 0 即a = b =時, 有最小值9.　用向量例13 　已知 , ,求ax + by的最大值.分析　直接運用均值不等式時,等號成立的條件為a = x 且b = y ,從而 ,即4 = 9 ,顯然等號不能成立,故不能直接運用均值不等式, 但此時利用向量則可迅速求出最值.解法1 　令m = ( a , b) , n = ( x , y) , 則由內積的性質m 故的最大值是 (本題也可用三角代換解。例3 若正數x、y 滿足2x+y=1, 求的最小值。在此運用過程中, 往往需要對相關對象進行適當地放大、縮小, 或不等式之間進行傳遞等變形, 在此過程中, 學生常常因為忽視條件成立而導致錯誤, 而且錯誤不易察覺。即不滿足‘一正, 二定, 三相等, 這個條件。錯解: 故, S 取得最大值8根據均值不等式取等號的充分必要條件是每個數皆相等, 否則: 則: 2a=b,2b=a,從而a=b=0 這與已知a0, b0,a+b=1 相矛盾, 所以 事實上: 其中等號在時取到。 　2. 5 。 C 　 。例12:若a + b + c = 1,且a, b, c∈ ,求的最小值。解：當且僅當,即y = 2x時,上式取等號。下面舉兩個例子予以說明。條件三:各變數必須有相等的可能。這個不等式,我們通常把它稱為均值不等式。對均值不等式的深刻理解和掌握,弄清楚其運用條件,便能在解題中快速找到突破口,進而找到正確解決問題的方法。一個題目同時滿足上述三個條件,或者可以變形成適合以上條件的,便可用均值不等式求,這就幫助學生在解題時迅速找到了突破口,從而找到正確方法,快速簡易地求最值。例6:已知a, b, c為互不相等的正數,且abc = 1求證: 證明: 　故原不等式得證例7:證: 證明: 由均值不等式得 ， 以上三式相加,得　 原不等式得證。故取最小值是3。解:由③式得 所以 ≥=例13:一段長為L的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,菜園的面積最大,最大的面積是多少?解:設矩形的長為x,則寬為，于是,菜園面積為:當且僅當x =L x,即時取