sos方法證明不等式-免費閱讀

　　

【正文】 N+.證明：由二項式定理可知n(A+B)=229。當且僅當t=0時，：形如a+b=1結構式的條件，：(利用一元二次方程根的判別式法)設y=(a+2)+(b+2)，由a+b=1，有y=(a+2)2+(3a)2=2a22a+13，所以2a22a+13y=0，因為a206。t+247。247。235。.所以(a+2)+(b+2)179。0239。252220。n163。R，x+1當y185。180。180。180。1但由01a)a≤230。 2221+x11+x21+x310 證：因為12111911x=時有163。Qa,b,c不全相等,所以上述三式中,得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc（注：這里把不等式的各項分別考慮,然后利用不等式的性質和推論,證得所求不等式.） 設a是銳角,求證：(1+11)(1+) 證： Qa是銳角,\0sina1,0cosa1,0sin2a163。6證：由4a+19163。+ann22an（注：這一串不等式在不等式證明中起著舉足輕重的作用.） 已知ab,求證a+證：a+1≥3(ab)b111=(ab)+b +≥33(ab)b=3(ab)b(ab)b(ab)b（4）充分利用一些重要結論,使解題簡捷①對實數a,b,c,d有a2+b2≥2ab=ab+ba。+（1+)23n=2n nn34n+12+++188。證明。2ac)=3abc當且僅當a=b，b=c，c=a即a=b=c時，等號成立。(1+12k+1)①要證①式左邊＞2k+32，只要證2k+12s2m2θ+cos2θcosθ例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：cc2ab＜a＜c+c2ab分析：觀察求證式為一個連鎖不等式，不易用比較法，又據觀察求證式等價于 ｜ac｜＜c2ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。(2+2+2)2 22abca+b+cacca+b+c9已知正數a,b,c且ab+bc+ac=1 求證：229。)=+229。0 那么sc+a+1ssa+1ab179。0性質六：若a,b,c,Sa,Sb,Sc206。c或a179。b179。c或a179。第一篇：sos方法證明不等式數學競賽講座SOS方法證明不等式（sum of squares）S=AB=Sa(bc)+Sb(ca)+Sc(ab)179。b179。c，則Sa,Sc179。b179。且滿足（1）若Sa+a2或a179。0a+asb179。(a+b)2416(a+b)2,b,c，試求最優常數k，使 111ab+bc+ac(a+b+c)(++)+k2179。1+a2b25179。要證cc2ab＜a＜c+c2ab只需證c2ab＜ac＜c2ab證明：即證 ｜ac｜＜c2ab即證(ac)2＜c2ab即證 a22ac＜ab∵a＞0，∴即要證 a2c＜b 即需證2+b＜2c，即為已知∴ 不等式成立練習4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）25放縮法放縮法是在證明不等式時，把不等式的一邊適當放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強常用技巧有：（1）舍去一些正項（或負項），（2）在和或積中換大（或換?。┠承╉棧?）擴大（或縮小）分式的分子（或分母）等。s2mθ2k+22k+1＞2k+32②對于②〈二〉2k+2＞2k+12平方添項運用此法必須注意原不等號的方向例14 ：對于一切大于1的自然數n，求證：(1+13)(1+15)…(1+12n1＞ 2n+1 2)證明：∵b ＞ a＞ 0，m＞ 0時ba＞ b+ma+m∵ ［(1+13)(1+15)…(1+12n1)］2=（465…2n2n1)（465…2n2n1)＞（576…2n+12n)（465…2n2n1)=2n+13＞ 2n+14＞∴(1+13)(1+15)…(1+12n1)＞2n+1 2)3平均值添項例15：在△ABC中，求證sinA+sinB+sinC≤332分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算術平均值添項sin π3證明：先證命題：若x＞0，y＜π，則sinx+siny≤2sin x+y2（當且僅當x=y時等號成立）∵0＜x+y2＜ π，π2＜ xy2＜ π2sinx+siny=2sin x+y2cosxy2∴上式成立反復運用這個命題，得sinA+sinB+sinC+sin π3≤2sinA+B2+2sinc+π32≤2方法； 應用不等式在數學中占重要地位,由于其本身的完美性及證明的困難性,使不等式成為各類考試中的熱點試題,證明不等式的途徑是對原不等式作代數變形，在初等數學中常用的方法有放縮法、代換法、歸納法、,、中學中有關不等式的證明方法 （1）比較法：證明不等式的基本方法,適應面寬.①相減比較法—欲證AB,則證AB0.②相除比較法—欲證AB（A0,B0）,則證1.（2）綜合法：利用平均不等式、二次方程根的判別式、二項式定理、數列求和等等。+nn2...n+1=nn+1（再變形）=2323nn11111n+1+++....+(1+1)+(1+)+....+(1+)23n=2n證：nnn+1+1n12131n第2頁（共13頁）數學系數學與應用數學專業2009級年論文(設計)2+ =1n34n+1++....+23nn234....n+1=nn+1n23n131n所以 n(n+1)n+1+++....+ 求證：1112+11+?+n(n1,n為自然數)2n 分析 與自然數有關的問題,=K時成立,需證n=K+1時也成立,需證明K+K+1K+1,可采用“湊項”的方法： K+1KK+1+1KK+1K+11===K+1K+1K+1K+1K+111+12=2+12=2+2,右邊=2,所以, 2 證：(1)當n=2時,左邊=左邊右邊.(2)假設n=K時, 1111+11+?+K成立,則當n=K+1時, 2K+1111+?++ K+K+12K+1KKK+1+1K+1 =KK+1K+1=K+1=K+1K+1綜上所述： （1）利用特殊值證明不等式11+11+?+n 2n特殊性存在于一般規律之中,（共13頁）數學系數學與應用數學專業2009級年論文(設計) 已知ab,b0,a+b=（a+）(b+)≥185。a2+b2+c2ab+bc+ca。44a+1+294=2a+13 注意到對稱有：94(a+b+c+d)+1317(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)163。1, 這時 1121,1,179。,所以,且當 163。231。 證： 設A=180。352n+142n12342n12n由于,188。188。1時,Δ=b24ac≥0,即14(1y)2≥0，所以 |y1|≤,即≤y≤.又當y=1時,方程的解x=0，x2+x+113故 ≤2≤.x+122121232（5）放縮法第10頁（共13頁）數學系數學與應用數學專業2009級年論文(設計)為了證明不等式的需要,有時需舍去或添加一些項,使不等式一邊放大或縮小,[5]設a,b為不相等的兩個正數,且a3b3=a+b.證： 由題設得a3b3=a2b2222。k的n成立可推出P(k+1)成立，1)成立，則P(n)對所有n成立.(5)、(最小數原理)自然數集的非空子集中必有一個最小數.(6)、若P)且若P(k),P(k+1)成立可推出P(k+2)成立，則P(n)1(,P(2)成立，對所有n成立.(7)、(無窮遞降法)若P(n)對某個n成立可推出存在n1n，使得P(n1)成立，則P(n)，還有螺旋歸納法(又叫翹翹板歸納法)：設有兩個命題P(n),Q(n)，若P(1)成立，又從P(k)成立可推出Q(k)成立，并且從Q(k)成立可推出P(k+1)成立，其中k為任給自然數，則P(n),Q(n)