數學建模教案設計-文庫吧在線文庫

　　

【正文】 錄象帶厚度是常數 w,空右輪盤半徑為 r； 初始時刻 t=0時 n=0. 模型建立 由錄象帶轉 m圈的長度和線速度的關系得 1 2 ()mi r wi vt?? ??? 考慮到 w比 r小得多及 m=kn易得 2 2 2wk rkt n nvv???? 當然還可以用其他的辦法得到此式。 3. 玻璃材料均勻，熱傳導系數是常數。這里我們僅在十分粗略的假設基礎上，利用類比方法，借助力學的某些結果，建立動物身長與體重間的比例關系。 [練習實驗題 ] 學校共 1000名學生， 235人住在 A宿舍， 333人住在 B宿舍， 432人住在 C宿舍。然后在兩顆顏色相同的棋子中間放一顆黑色棋子，在兩顆顏色不同的棋子中間放一顆白色棋子，放完后撤掉原來所放的棋子。但我們完全可以用數學的推理方法說明最多經過 8次變換，各棋子的顏色都會變黑 .注意到我們的規則是同色的棋子中間加黑色棋子，兩異色的棋子中間加白色棋子，即黑黑得黑，白白得黑，黑白得白，用 +1表示黑， 1表示白，則這與 + 1之間的乘法運算是一致的，開始擺的 8顆棋子記為 1 2 3 4 5 6 7 8, , , , , , ,a a a a a a a a，我們僅 關心的是棋子的顏色，故 ka ? +1 或 1，1,2, 8k? … ， ，下一次在 1a 與 2a 中間擺的棋子的顏色由 12aa 決定，類似的 1kkaa? 正好給出了所放棋子的顏色，這樣一次次地放下去，各次的顏色 均可由下面的數確定： 第 0次 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 第 1次 12aa 23aa 34aa 45aa 56aa 67aa 78aa 81aa 第 2次 21 2 3aaa 22 3 4aaa 23 4 5aaa … … 28 1 2aaa 第三次 331 2 3 4aaaa 332 3 4 5aaaa … … 338 1 2 3aaaa … … … … … … 第八次 1 8 28 56 70 56 28 8 11 2 3 4 5 6 7 8 1a a a a a a a a a … … 1 8 2 8 5 6 7 0 5 6 2 8 8 18 1 2 3 4 5 6 7 8a a a a a a a a a 在原來的基礎上，最多經過 8次變換以后，各個數都變成了 +1，這意味著所有旗子都是黑色，且以后重復上述過程，顏色也就不再變化了。由于剩下的兩個方格具有相同的奇偶性，因此無法鋪上最后一塊瓷磚。 用 6 個 點（記為 1 2 3 4 5 6, , , , ,u u u u u u）表示 6 個人，若兩個人相互認識，就在相應的兩個點之間連一條邊，則此圖補圖的一條邊就表示對應于它的關聯頂點的人相互不認識，于是問題轉化為須證下列命題： 對于一個任意的具有 6 個頂點的簡單圖 G ，要么這圖本身要么它的補圖 G 含有一個三角形（即具有 3個頂點的完全圖 3K ） . 圖：相識圖 不妨考慮 1u 與其余的 5個頂點不在 G 中相鄰就在 G 中相鄰，因此在 G 中或在 G 中，至少與三個點相鄰，不妨假設在 G 中，有邊 1 2 1 3 1 4, , ( )u u u u u u E G?，見下圖 （ 1） 若 234,u u u 這 3 個點有兩個點在 G 中相鄰，比如說 23uu ()EG? ，則有1 2 3,u u u 這 3個頂點的完全圖 3K 即為所求。 [練習實驗題 ] 第 5 章 微積分的應用 [教學目的和要求 ] 提供一些簡化的應用問題，用學習過的高等數學的知識來解決這些實際問題，增加學習數學的興趣和應用數學的能力。 現有一張半徑為 R 的磁盤，它的存儲區的半徑是介于 r 與 R 之間的環行區域，試確定 r ，使磁盤具有最大存儲量。 [練習實驗題 ] 一容器內盛入鹽水 100 升，含鹽 50 克，然后將 2 克 /升的鹽水流入容器內，流量為 3升 /秒；設流入鹽水與原有鹽水攪拌而成均勻的混合物。 信與信封的匹配問題 某人給他的 N個朋友寫信，寫好分別將這些信放入 N個信封中，并在每一個信封上分別任意不重復地寫上 N個收信人中的一個地址。 機器任務分配 某工廠用 200臺機器來加工兩種零件，需要安排 4周完成任務。 測 16名成年女子的身高 與腳長所得數據如下： 身高（ cm） 143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164 腿長（ cm） 88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102 試研究這些數據之間的規律。 1． 線性規劃 線性規劃問題很多，最具代表性的有投資問題、配料問題、生產計劃安排問題、勞動力安排問題、運輸問題等。 [X,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb) 計算結果 X=[50,250], fval =27500 例 2 某商業集團公司在 1 2 3,A A A 三地設有倉庫，它們分別庫存 40， 20， 40個單位質量的貨物，而其零售商店分布在地區 , 1, ,5iBi? ，它們需要的貨物量分別是 25， 10， 20，30， 15個單位質量。 給定初值 x0=[4 5 6]。 [x,fval]=fmincon(myfun1,x0,[],[],aeq,beq,lb) 計算結果： x = [， ] fval = 例 3 河流供水問題：供水損耗率與距離平方成反比，試給出最佳的供水方案。 函數調用： x0=[ ]39。 在建立規劃模型時，首先要確定決策變量和目標函數。2 1。 [教學內容 ] 在眾多實際問題中，常常要求決策（確定）一些可控制量的值，使得相關的量（目標）達到最佳（最大或最小）。由于故障發生的隨機性，故障后的實際更換費用比預防性更換費用要多。問應該如何估計湖中魚的數量 N ? 報童的策略 報童每天清晨從報社購進報紙零售，晚上將沒有賣掉的報紙退回。 [教學內容 ] 問題 賭博問題 均勻正方體骰子的六個面分別刻有 1， 2， 3， 4， 5， 6的字樣，將一對骰子拋 25次決定勝負。 ? 水的流出時間 一橫截面積為常數 A ，高為 H 的水池內盛滿了水，由池底一橫截面積為 B 的小孔放水。磁道是指不同半徑所構成的同心軌道，扇區是指被圓心角分隔所成的扇形區域。 （ 3） 可取運算：按普通向量加法運算，一次過河就相當于一個可取狀態向量與一個可取運載向量相加 . 問題轉化為：由初始狀態 (3,3) 經多少次（奇數次）可取運算才能轉化為狀態(0,0) . 可以驗證，經 11次可取運算即可完成： 2() ???? ???? ????去 女 回1女 去2女三對夫妻 （3 男1 女） （3 男兩女） （3 男） ???? ???? ????? ????留一對夫妻回1 女 去2 男 回一對夫妻 去2 男（3 男1 女） （1 男1 女） （2 男2 女） （2 女） ???? ???? ???? ????回1女 去2女 回1女 去2女（3 女） （1 女） （2 女） （無人） 計算機求解： 記可取狀態集合和可取運載集合分別為 { ( 0 , ) , ( , ) , ( 3 , ) , 0 , 1 , 2 , 3 }S i i i i i?? { ( , ) | 1 2 , , 0 , 1 , 2 }D m n m n m n? ? ? ? ? 并用 12( , ), ( , ),s m n s m n …()ksS? 表示狀態的變化過程， kd ( , )mn ()kdD? 表示狀態 ( , )ks mn 下的過河方案，當 k 為奇數時， kd 表示從左岸到右岸，當 k 為偶數時，表示從右岸到左岸。 （ 2） 連接奇數個橋的陸地僅有兩個時，則從兩者任一陸地出發，則從兩者任一陸地出發，可以實現一筆畫而停在另一陸地。然后仔細觀察，發現工有 19個白格和 21個黑格。 假設 A表示島， B表示河的左岸， C表示右岸， D為兩支流間地區， a,b,c,d,e,f,g分別表示七座橋。（試解釋其道理。 /bl太大，四足將無法支撐； /bl太小，四肢的材料和尺寸超過了支撐軀干的需要，無疑是一種浪費。 167。據說這樣做是為了保暖，即減少室內向室外 的熱量流失。 如果計數器讀數隨著錄象帶的轉動是均勻增加的，那么由于 4450已經顯著地超過 6041的 三分之二，即錄象帶已經轉了兩小時多，所以顯然不能再錄一小時的節目。w 成正比，即 39。 模型假設 1． 各種艇的集合形狀相同， /lb為常數；艇重 0w 與槳手數 n 成正比。艇靠槳手的力量克服阻力保持一定的速 度前進。 1 1 2 2p /n p /(n +1)，說明給 B增加一個席位對 A不公平，計算 ra(n1,n2+1)。為了給出席位分配方案，我們先討論 A,B兩方的席位分配方案。若學生代表會議設 20個席位，公平而又簡單的席位分配方法是按學生人數的比例分配，顯然甲乙丙三系分別應占有 10， 6， 4個席位。 [教學重點與難點 ] 了解數學建模的一般步驟和方法，體會如何用數學的語言和方法表述和解決實際問題。二者都具有突發性，且思維者本人往往說不清它的來路和道理。 比類 方法和 理想化方法 是建模中常用的方法，它們的運用與想象力、洞察力有密切關系。 上圖揭示了現實對象和數學模型的關系。 表述 （歸納） 驗證 求解 （演繹） 解答 表述是將現實問題“翻譯”成抽象的數學問題，屬于歸納法。 模型求解 可以采用解方程、畫圖形、優化方法、數值計算、統計分析等各種數學方法，特別是數 學軟件和計算機技術。情況明才能方法對。如果掌握了一些內部機理的知識，模型也要求具有反映內在特征的物理意義，建模就應以機理分析為主。 1． 5 建立數學模型的方法和步驟 數學建模面臨的實際問題是多種多樣的，建模的目的不同、分析的方法不同、采用的數學工具不同，所得的模型的類型也不同，我們不能指望歸納出若干條準則，使用與一切實際問題的數學建模方法。 評注 這個模型的巧妙之處在與用一元變量 ? 表示椅子的位置，用 ? 的兩個函數表示椅子四腳與地面的距離，進而把模型假設和椅腳同時著地的結論用簡單、精確的數學語言表達出來，構成了這個實際問題的數學模型。 g（ ? ） =0，且 g（ 0）=0， f（ 0） 0。如果用某個變量表示椅腳與地面的豎直距離 , 那么當這個距離為零時就是椅腳著地了。 首先要用變量表示椅子的位置。 從上例中，我們可以 看出建立數學模型的基本內容。如地圖、電路圖、化學結構式等，具有簡明、方便、目的性強及非量化等 特點 。 物理模型 主要指科技工作者為一定目的根據相似原理構造的模型，它不僅可以顯示原型的外形或某些特征，而且可以用來進行模擬實驗，間接地研究原型的某些規律。 特別強調 構造模型的目的性。 （待續） 第 1 章 建立數學模型 [教學目的和要求 ] 本章作為全書的導言和數學模型的概述，主要討論建立數學模型的意義、方法和一般步驟，讓學生對數學模型有一個全面的初步的了解。 數學建模是指用數學的語言和方法對實際問題進行近似地刻劃和描述，數學建模并不是中新事物，自從有了數學并用數學去解決問題時，就有了數學建模。 有問題及時提問，及時解決。本課程旨在提高學生數學應用能力和數學知識的獲取能力。 [2]三次四次方程的求根公式，韋達和符號 代數學，三角的發展，小數與對數的發明。 （ 4）、逐漸發展形成一種洞察力。在科技領域通常使用系統（ System）、過程（ Process）等詞匯，如機械系統、電力系統、生態系統、生命系統、社會經濟系統，又如鋼鐵冶煉過程、導彈飛行過程、化學反應過程、污染擴散過程、生產銷售過程、計劃決策過程等。前者包括 直 觀模型、物理模型，后者包括思維模型、符號模型、數學模型。通常說的某些領導者憑經驗做決策就是如此。 50=750 實際上，這組方程就是上述航行問題的數學模型。 167。 39。又假設 3，椅子在任何位置至少有三只腳著地，所以對于任意的 ? ， f（ ? ）和 g（ ? ）中至少有一個為零。由 f和 g的連續性知 h也是連續函數。 ,s x y x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ,kkuv分別表示地 k次渡船上的商人數和隨從數， ( , )k k kd u v? 為決策變量；允