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【正文】 ( x, y ) 在點(diǎn) ( x, y) 可微，處全增量則稱此函數(shù) 在 D 內(nèi)可微 . ? ? ?A x B y(2) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) ? ?)()(lim 0 ?? oyBxA ????? ?下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 : (1) 函數(shù)可微函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) (x, y) 可微由微分定義得可微必連續(xù) : 0lim z?? ? 0?函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微則定理 1(必要條件 ) 若函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) (x, y) 可微 , 則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù) yyzxxzz ????????dxz???同理可證 .z By? ??證 : 由全增量公式 ,0?? y令)( xoxA ????必存在 ,且有得到對(duì) x 的偏增量 xx ?? xxzxx ????? 0l i m A?另函數(shù)也必連續(xù) 反例 : 函數(shù) ?),( yxf易知 fx(0,0)= fy(0,0)=0 注意 : 定理 1 的逆定理不成立 . 偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 ! 即 : 220 , 0xy??我們已知道函數(shù) f(x,y)在 (0,0)處不連續(xù) ,則當(dāng)然不可微 . 2222 ,0xy xyxy ???] ),([ yyxxf ?????定理 2 (充分條件 ) yzxz???? ,證： ),(),( yxfyyxxfz ???????)1,0( 21 ?? ??xyxf x ??? ]),([yyyxf y ??? ),( 2? ??????? xyyxxf x ),( 1?), yyxf ???)],( [ yxf?? ),( yyxf ??yyxf y ??? ]),([若函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù) ,),( 連續(xù)在點(diǎn) yx則函數(shù)在該點(diǎn) 可微 . ? ?lim 0? ?lim 0 ,? ?( , ) ( , ) =f a b f a c?( ) ( )f a f b??

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