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[理學]第二章矩陣理論小結-文庫吧在線文庫

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【正文】 5) 反對稱陣： AT = ?A 第二章矩陣理論方陣的運算 A ? A = A 2 , A ? A ? A = A 3 , A ? A … A = A k . k個顯然有 A k ? A l = A k + l , ( A k ) l = A k l ( 其中 k, l 均為正整數 ) . 設 A、 B 均為 n 階方陣，一般地 ( A B ) k ? A k B k . 注意：第二章矩陣理論 ???????????????nA???0021?對于一切的正整數 k .0021???????????????knkkkA????第二章矩陣理論方陣 A 構成的行列式記為 |A| 或 detA. 若 |A| ? 0, 則稱 A 為非奇異 (非退化 )的；若 |A| = 0 , 則稱 A 為奇異的 . 由行列式的性質及矩陣的乘法可以證明： 1) | ? A | = ?n | A | 。A A A A A E??1( 2 ) * | | 。1)( 11 ?? ? AA ??3) ( A T )?1 = ( A?1 ) T 。TTAA?11( * ) ( ) *AA??? ( A T )?1 = ( A?1 ) T 。 5) 。TTAA? 1( 4 ) ( ) * * ( 0 ) 。 3) | A m| = | A | m . 方陣的行列式非奇異方陣的積仍是非奇異方陣 . 非奇異方陣的轉置矩陣也是非奇異方陣 . 1)計算兩個矩陣的加法時，要將兩個矩陣進行相同的劃分，以保證對應子塊同型； 2)計算兩個矩陣的乘法時，要使對第一個矩陣列的分法與第二個矩陣行的分法一致，這樣才能保證對應子塊能相乘； 3)求矩陣轉置時，要將子塊當作元素將分塊矩陣轉置后，再將每個子塊轉置 . 第二章矩陣理論四、矩陣的分塊 ???????????????A注：設矩陣 A = ( aij ) m?n 分塊為 ???????????????TA則 tAAA 11211 ?tAAA 22221 ?????stss AAA ?21TtTTAAA11211?TtTTAAA22221? ????TstTsTsAAA?21第二章矩陣理論若矩陣 A 經過某種分塊后，能劃分成如下形式： ,21?????????????mAAAA?其中 A , A2 , …, Am 均為方陣，則稱 A 為準對角矩陣，它有著與對角矩陣類似的性質 . 如 .|||||||| 21 mAAAA ??第二章矩陣理論注意： 0 0 0AB A B? ? ? ?或?2 00AA? ? ??0 0 0A B A B? ? ? ?或22 ( ) ( )A B A B A B? ? ? ??? ? 2 222A B A A B B? ? ? ??AB AC B C? ? ??第二章矩陣理論定義 1 對矩陣施行下列三種變換均稱為矩陣的初等行變換 : 1) 互換矩陣的兩行 ( 記作 ri ? rj ) 。 ( iii ) A + O = A . A ? B = A + ( ? B ) = ( aij ? bij )m ? n . 第二章矩陣理論數與矩陣的乘法設 ? 為常數 , 矩陣 A = ( aij )m ? n , 則稱矩陣 ( ? aij ) m ?n 為數 ? 與矩陣 A 的乘積，記為 ? A, 即 nmijaA ?? )( ??.212222111211?????????????mnmmnnaaaaaaaaa????????????????數與矩陣的乘法滿足下列運算規律： ( i ) 結合律： ( ? ? ) A = ? ( ? A ) = ? ( ? A ) 。 ? 6．理解逆矩陣的概念、性質及其存在的充要條件，會用伴隨矩陣求逆矩陣，掌握用初等變換求逆矩陣的方法。矩陣理論小結第一節矩陣及其運算第二節矩陣的初等變換第三節逆矩陣第四節矩陣理論的應用 ? 1．理解矩陣的概念。 ? 5．理解矩陣的秩的概念，知道滿秩矩陣的性質，掌握用初等變換求矩陣的秩的方法。 ( ii ) 結合律： ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 。 2) | A B | = | A | | B | 。A A A A ??則若可逆，( 3 ) ( * ) ( ) * 。 4) ( A B)?1 = B ?1 A?1 。第二章矩陣理論四、用初等變換求逆矩陣 ( A | E ) 初等行變換 ( E | A?1) . .1 ??????? ?????????AEEA 列變換1 1 1 121mA P P P E? ? ? ??1 1 121mE P P P A? ? ??1 1 1 121mA EP P P? ? ? ??1 1 121mE AP P P? ? ??第一章行列式求逆矩陣常用方法 1 1 *||AAA? ? ( A | E ) 初等行變換 ( E | A?1) . .1 ??????? ?????????AEEA 列變換第一章行列式 121?????????????mAAA?.11211????????????????mAAA?11211.mAAA??????????????112mAAA???????????第一章行列式 1ACOB???????1 1 11.A A C BOB? ? ?????? ????1AOCB???????11

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