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湖北省當陽市20xx屆高三10月月考數學理試題-文庫吧在線文庫

2025-12-27 07:49上一頁面

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【正文】解：（ 1）證明：取 AB 的中點 E ，則 2AE AQEP QC??，所以 EQ //PC ．又 EQ? 平面 CPM ，所以 EQ //平面 CPM ．又 PM 是 △ BDE 的中位線，所以 DE //PM ，從而 DE //平面 CPM ．所以平面 DEQ //平面 CPM ，故 DQ //平面 CPM ．（ 2）解法 1：由 AD? 平面 BCD 知， AD CM? 由 ,BC C D BM MD??知 BD CM? ，故 CM? 平面 ABD ．由（ Ⅰ ）知 DE //PM ，而 DE AB? ，故 PM AB? ．所以 CPM? 是二面角 C AB D??的平面角，即 3CPM ???．設 PM a? ，則 3CM a? ， 2DM BM a??, 在 Rt △ CMD 中， 36ta n22M C aM D C MD a? ? ? ?．所以 BDC? 的正切值為 62 ．解法 2：以 M 為坐標原點， MC ， MD ， ME 所在的直線分別為 x 軸， y 軸， z 軸建立如圖所示的空間直角坐標系．設 MC a? ， MD b? ，則 ? ?,0,0Ca ， ? ?0, ,0Bb? ， ? ?0, ,2A b b 則 ? ?, ,0BC a b? ， ? ?0,2 ,2BA b b? 設 ? ?1 ,n x y z? 平面 ABC 的一個法向量，則 110,0.n BCn BA? ????????即 0,2 2 byby bz?????取 ? ?1 ,n b a a?? 不難得到平面 ABD 的一個法向量為 ? ?2 1,0,0n ? ，所以12 22 1c o s 22bnn ba? ? ? ??，所以 62ab? 在 Rt △ CMD 中， 6ta n 2M C aM D C M D b? ? ? ? 所以 BDC? 的正切值為 62 ． 21．解：法一：因為 a、 b、 c均為正數，由平均值不等式得 a2＋ b2＋ c2≥3( abc)23， ① 1 1 1abc????????≥3( abc)－ 13 ， ② 所以 1 1 1abc????????2≥9( abc)－ 23 . 故 a2＋ b2＋ c2＋ 1 1 1abc????????2≥3( abc)23 ＋ 9(abc)－ 23 . 又 3(abc)23 ＋ 9(abc)－ 23 ≥2 27 ＝ 6 3 ， ③ 所以原不等式成立．當且僅當 a＝ b＝ c時， ① 式和 ② 式等號成立．當且僅當 3(abc)23 ＝ 9(abc)－ 23 時， ③ 式等號成立．即當且僅當 a＝ b＝ c＝ 314 時，原式等號成立．法二：因為 a， b， c均為正數，由基本不等式得 a2＋ b2≥2 ab， b2＋ c2≥2 bc， c2＋ a2≥2 ac，所以 a2＋ b2＋ c2≥ ab＋ bc＋ ac.① 同理2 2 21 1 1abc??≥ 1 1 1ab bc ac??， ② 故 a2＋ b2＋ c2＋ 1 1 1ab

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