20xx-20xx“數學周報杯”全國初中數學競賽試題及答案-文庫吧在線文庫

　　

【正文】 分）1．若，則的值為（ ）．（A） （B） （C） （D）解： 由題設得．代數式變形，同除b2．若實數a，b滿足，則a的取值范圍是 （ ）．（A）a （B）a4 （C）a≤或 a≥4 （D）≤a≤4解．C因為b是實數，所以關于b的一元二次方程的判別式 ≥0,解得a≤或 a≥4．方程思想，未達定理；要解一元二次不等式3．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝135176。得點P2，點P2繞點C旋轉180176。.依題設∠BFC = 90176。5．如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點坐標分別為A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y軸上一點P（0，2）繞點A旋轉180176。AB=，BC=，CD＝，則AD邊的長為（ ）．（A） （B）（第3題）（C） （D）解：D如圖，過點A，D分別作AE，DF垂直于直線BC，垂足分別為E，F．由已知可得（第3題）BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是 EF＝4＋．過點A作AG⊥DF，垂足為G．在Rt△ADG中，根據勾股定理得AD＝．勾股定理、涉及雙重二次根式的化簡，補全圖形法4．在一列數……中，已知，且當k≥2時，（取整符號表示不超過實數的最大整數，例如，），則等于（ ）．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解：B由和可得，……因為2010=4502+2，所以=2．高斯函數；找規律。試求所有滿足條件的直線的函數解析式. （第13題）14如圖，△ABC中，．點P在△ABC內，且，求△ABC的面積．（第14題）2011年全國初中數學競賽試題參考答案 一、選擇題1．A. 2 . C. 3. C. 4. C. 5. A二、填空題6. 7．3＜m≤4. 8．. 9．6. 10．84三、解答題11. 解：把x＝1代入原方程并整理得（b＋4）k＝7－2a要使等式（b＋4）k＝7－2a不論k取什么實數均成立，只有解之得　，12．解：設方程的兩個根為，其中為整數，且≤，則方程的兩根為，由題意得，兩式相加得 ， 即 ， 所以 或 解得 或又因為 所以；或者，故，或29. 13．解：（1）如圖，分別過點作軸的垂線，垂足分別為.設點的坐標為（0，），則點的坐標為（0，）.設直線的函數解析式為,并設的坐標分別為 ,.由（第13題）得 ，于是 ，即 . 于是 又因為，所以. 因為∠∠，所以△∽△， 故∠=∠.（2） 設，不妨設≥0，由（1）可知∠=∠，=，=， 所以 =，=.因為∥，所以△∽△.于是，即，所以．由（1）中，即，所以于是可求得 將代入，得到點的坐標（，）. 再將點的坐標代入，求得 所以直線的函數解析式為.根據對稱性知，所求直線的函數解析式為，或.14．解：如圖，作△ABQ，使得則△ABQ∽△ACP . 由于，所以相似比為2.于是（第14題）．. 由知，于是．所以 ，從而．于是 . 故 ．2012年全國初中數學競賽試題（正題） 題 號一二三總 分1～56～101112 1314得 分評卷人復查人答題時注意：1．用圓珠筆或鋼筆作答；2．解答書寫時不要超過裝訂線；3．草稿紙不上交.一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分. 每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1（甲）．如果實數a，b，c在數軸上的位置如圖所示，那么代數式可以化簡為（ ）． （第1（甲）題）（A）2ca （B）2a2b （C）a （D）a1（乙）．如果，那么的值為（ ）．（A） （B） （C）2 （D）2（甲）．如果正比例函數y = ax（a ≠ 0）與反比例函數y =（b ≠0 ）的圖象有兩個交點，其中一個交點的坐標為（－3，－2），那么另一個交點的坐標為（ ）．（A）（2，3） （B）（3，－2） （C）（－2，3） （D）（3，2）2（乙）． 在平面直角坐標系中，滿足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整數點坐標（x，y）的個數為（ ）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）53（甲）．如果為給定的實數，且，那么這四個數據的平均數與中位數之差的絕對值是（ ）．（A）1 （B） （C） （D）3（乙）．如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，△ABC是等邊三角形．，AD = 3，BD = 5，則CD的長為（ ）．（第3（乙）題）（A） （B）4 （C） （D）4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值為整數元的人民幣．小倩對小玲說：“你若給我2元，我的錢數將是你的n倍”；小玲對小倩說：“你若給我n元，我的錢數將是你的2倍”，其中n為正整數，則n的可能值的個數是（ ）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）44（乙）．如果關于x的方程 是正整數）的正根小于3， 那么這樣的方程的個數是（ ）．（A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 85（甲）．一枚質地均勻的正方體骰子的六個面上的數字分別是1，2，3，4，5，6．擲兩次骰子，設其朝上的面上的兩個數字之和除以4的余數分別是0，1，2，3的概率為，則中最大的是（ ）．（A） （B） （C） （D）5（乙）．黑板上寫有共100個數字．每次操作先從黑板上的數中選取2個數，然后刪去，并在黑板上寫上數，則經過99次操作后，黑板上剩下的數是（ ）．（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6（甲）．按如圖的程序進行操作，規定：程序運行從“輸入一個值x”到“結果是否487？”為一次操作. 如果操作進行四次才停止，那么x的取值范圍是 .（第6（甲）題）6（乙）. 如果a，b，c是正數，且滿足，那么的值為 ． 7（甲）．如圖，正方形ABCD的邊長為2，E，F分別是AB，BC的中點，AF與DE，DB分別交于點M，N，則△DMN的面積是 .　　　?。ǖ?（甲）題）　　　　　　?。ǖ?（乙）題）7（乙）．如圖，的半徑為20，與分別交于兩點，則的值等于 ．8（甲）．如果關于x的方程x2+kx+k2－3k+= 0的兩個實數根分別為，那么 的值為 ．8（乙）．設為整數，且1≤n≤2012. 若能被5整除，則所有的個數為 .9（甲）．2位八年級同學和m位九年級同學一起參加象棋比賽，比賽為單循環，即所有參賽者彼此恰好比賽一場．記分規則是：每場比賽勝者得3分，負者得0分；平局各得1分. 比賽結束后，所有同學的得分總和為130分，而且平局數不超過比賽局數的一半，則m的值為 .9（乙）．如果正數x，y，z可以是一個三角形的三邊長，那么稱是三角形數．若和均為三角形數，且a≤b≤c，則的取值范圍是 .10（甲）．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是直徑，AD = DC. 分別延長BA，CD，交點為E. 作BF⊥EC，并與EC的延長線交于點F. 若AE = AO，BC = 6，則CF的長為 .（第10（甲）題）10（乙）．已知是偶數，且1≤≤100．若有唯一的正整數對使得成立，則這樣的的個數為 ．三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11（甲）．已知二次函數，當時，恒有；關于x的方程的兩個實數根的倒數和小于．求的取值范圍．11（乙）． 如圖，在平面直角坐標系xOy中， AO = 8，AB = AC，sin∠ABC=．CD與y軸交于點E，且S△COE = S△ADE. 已知經過B，C，E三點的圖象是一條拋物線，求這條拋物線對應的二次函數的解析式.（第11（乙）題）12（甲）．如圖，的直徑為，過點，且與內切于點．為上的點，與交于點，且．點在上，且，BE的延長線與交于點，求證：△BOC∽△．（第12（甲）題）12（乙）．如圖，⊙O的內接四邊形ABCD中，AC，BD是它的對角線， AC的中點I是△ABD的內心. 求證：（1）OI是△IBD的外接圓的切線；（2）AB+AD = 2BD.（第12（乙）題）13（甲）．已知整數a，b滿足：a－b是素數，且ab是完全平方數. 當a≥2012時，求a的最小值.13（乙）．凸邊形中最多有多少個內角等于？并說明理由14（甲）．求所有正整數n，使得存在正整數，滿足，且.14（乙）．將（n≥2）任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數（可以相同）使得，求的最小值．2012年全國初中數學競賽試題（正題）參考答案 一、選擇題1（甲）．C解：由實數a，b，c在數軸上的位置可知，且，所以 ． 1（乙）．B解：．2（甲）．D解：由題設知，所以.解方程組得 所以另一個交點的坐標為（3，2）.注：利用正比例函數與反比例函數的圖象及其對稱性，可知兩個交點關于原點對稱，因此另一個交點的坐標為（3，2）.2（乙）．B解：由題設x2＋y2≤2x＋2y， 得0≤≤2.因為均為整數，所以有解得以上共計9對.3（甲）．D解：由題設知，所以這四個數據的平均數為，中位數為 ，于是 .3（乙）．B解：如圖，以CD為邊作等邊△CDE，連接AE. （第3（乙）題）由于AC = BC，CD = CE，∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，所以△BCD≌△ACE， BD = AE.又因為，所以.在Rt△中，于是DE=，所以CD = DE = 4. 4（甲）．D解：設小倩所有的錢數為x元、小玲所有的錢數為y元，均為非負整數. 由題設可得消去x得 (2y－7)n = y+4，2n =.因為為正整數，所以2y－7的值分別為1，3，5，15，所以y的值只能為4，5，6，11．從而n的值分別為8，3，2，1；x的值分別為14，7，6，7．4（乙）．C解：由一元二次方程根與系數關系知，兩根的乘積為，故方程的根為一正一負．由二次函數的圖象知，當時，所以，即 . 由于都是正整數，所以，1≤q≤5；或 ，1≤q≤2，此時都有. 于是共有7組符合題意． 5