[初三數學]初三數學第一輪復習方法(完整版)

　　

【正文】 D A O 圖 161 圖 162 ADE? 旋轉 180? 可得 DE=EF，故 DF=BC,得平行四邊形 BD=BC,從而 四邊形 BCFD 為菱形 【解】 四邊形 BCFD 是菱形，理由如下： ∵點 D、點 E 分別是 AB、 AC 的中點 ∴ 12DE BC=， DE∥ BC 又∵ CFE? 是由 ADE? 旋轉 180? 而得 ∴ DE=EF ∴ DF∥ BC， DF=BC ∴四邊形 BCFD 是平行四邊形 又∵ AB=2BC，且點 D 為 AB 的中點 ∴ BD=BC ∴ 四邊形 BCFD 是菱形 【說明】 這類題給出問題的條件，讓解題者根據條件探索相應的結論 .它要求解題者充分利用條件進行大膽而合理的猜想，發現規律，得出結論 .這類題主要考察解題者的發散性思維和所學知識的應用能力． 3． 規律類探究題 規律類探究題則是綜合合情推理與演繹推理，使得問題得解 ． 例 3 觀察下表，回答問題： 第 個圖形中“△”的個數是“○”的個數的 5 倍． 【分析】 根據上表中圖形的數量，列出下表： 圖形序號 1 2 3 ? “△”的個數 1 4 9 ? “○”的個數 4 8 12 ? 把表中 “△”的個數與“○”的個數分別與圖形序號進行比較，可以發現在第 n (n為正整數 )個圖形中，“△”的個數是 n2，“○”的個數 4n 要使圖形中 “△”的個數是“○”的個數的 5倍，則需 n2=5﹙ 4n﹚ 解得 n1=0,n2=20（因為正整數，故 0不合題意，舍去），所以第 20個圖形中 “△”的個數是“○”的個數的 5倍． 序號 1 2 3 ? 圖形 ? 【解】 20 【說明】 探索規律問題在中考試卷中已經屢見不鮮，通常以探索一種圖形數量規律的居多，而本題要同時探索兩種圖形的數量規律，而且通過兩種圖形數量之間的等量關系，把方程融入其中，別具一格。． (2)感受答有“分類討論”，“考慮問題要全面”等能體現分類討論思想的語句就可以 ． 【 說明 】 本題體現了分類討論的思想．全面考慮問題的各種 可能情形是數學嚴謹性的體現． 三、 歸納、猜想 型閱讀 此類問題，常常是事先給出問題背景，但在問題背景中卻蘊含某種變化規律或不變性的結論 ． 她要求讀者通過閱讀與理解，不僅要歸納、猜 想出背景問題所蘊含的規律或結論，還要應用所蘊含的規律或結論去解答后面所提出的新問題 ． 例 5 閱讀下面材料并完成填空． 你能比較兩個數 20222022 和 20222022 的大小嗎？為了解決這個問題，先把問題一般化，即比較 nn＋ 1和 (n＋ 1)n 的大小 (n≥ 1 的整數 )．然后，從分析 n＝ 1， n＝ 2， n＝3， ?? ，這些簡單情形入手，從中發現規律，經過歸納，猜想出結論． (1)通過計算，比較下列 ① ～ ③ 各組兩個數的大小 (在橫線上填 “ ＞ ”“ ＜ ” 或“ ＝ ”) ① 12_____21； ② 23______32； ③ 34______43； ④ 45＞ 54； ⑤ 56＞ 65； ⑥ 67＞ 76； ⑦ 78＞ 87； ? (2)從第 (1)小題的結果經過歸納，可以猜想出 nn＋ 1 和 (n＋ 1)n 的大小關系是： _______． (3)根據上面歸納猜想得到的一般結論，可以得到 20222022______20222022(填“ ＞ ”“ ＜ ” 或 “ ＝ ”) ． 【 分析 】 本題從幾個特殊的范例啟發學生，不難發現其中的規律 ． 【解】 (1) ① 12 ＜ 21； ② 23 ＜ 32； ③ 34 ＞ 43； (2) 當 n≤ 2 時 nn＋ 1＜ (n＋ 1)n ； 當 n＞ 2 時 ,nn＋ 1＞ (n＋ 1)n (3) 20222022 ＞ 20222022 【 說明 】 本題是考查學生歸納、探索規律能力的概括探究型閱讀題，滲透了不完全歸納法的思想 ． 四、 補充完善 型閱讀 此類問題，常常是事先給出問題背景，但在問題背景中有著不完善的解答過程或蘊含某種結論 ． 它 要求讀者通過閱讀與理解，不僅要完善解答過程，還要解答后面所提出的新問題 ． 例 6 我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不一定全等．那么在什么情況下，它們會全等 ? (1)閱讀與證明： 對于這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們全等． 對于這兩個三角形 均為鈍角三角形，可證它們全等 (證明略 )． 對于這兩個三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下： 已知：△ ABC、△ A1B1C1均為銳角三角形， AB＝ A1B1， BC＝ B1Cl， ∠ C＝ ∠ Cl． 求證：△ ABC≌△ A1B1C1． (請你將下列證明過程補充完整 ) 【證明】 分別過點 B， B1 作 BD⊥ CA于 D， B1 D1⊥ C1 A1于 D1． 則∠ BDC＝ ∠ B1D1C1＝ 90176。”．還有一些同學也提出了不同的看法． (1)假如你也在課堂中，你的意見如何？為什么？ (2)通過上面數學問題的討論，你有什么感受？ (用一句話表示 ． ) 【分析】 本 題以等腰三角形為背景提出一個學生很容易出現錯誤的問題 ． 通過問題的正確解答，培養學生樹立用分類的思想去正確求解等腰三角形的相關問題 ． 而在實際考試或學生在做練習時，學生常常忽視這一點，因而造成解題的失誤而丟分 ． 【解】 (1)答：上述兩同學回答的均不全面，應該是： 其余兩角的大小是 75176。和 120176。和 75176。 ∴ AB＝ 4 cm，即 ⊙ O 的半徑 為 2cm.． (2)AE＝ 2t， BF＝ t， BE＝ 42t． 當 (1)∠ EFB＝ 90?時 ， cos60186。 方式 1：從 A、 B 這 2 個空來提問：普通公路和高速公路各為多少千米？ 【解】 設普通公路長為 xkm，高速公路長為 ykm. 根據題意，得 2x=y， 60 100xy?? 解得 x=60， y=120 方式 2：從 D、 E 這 2 個空來提問：汽車在普通公路和高速公路各行駛了多少小時？ 【解】 設汽車在普通公路上行駛了 xh，高速公路上行駛了 yh 根據題意，得 ?? ， 60 2 100xy?? 解得 x=1， y= 方式 3：從 A、 C 這 2 個空來提問，普通公路和兩地公路總長各為多少千米？ 【解】 設普通公路長為 xkm，兩地公路總長為 ykm 根據題意，得 13xy?， 60 100x y x??? 解得 x=60， y=180 方式 4： 從 A、 D這 2個空來提問：普通公路有多少千米，汽車在普通公路上 行駛了多少小時？ 【解】 設普通公路長為 xkm，汽車在普通公路上行駛了 yh 根據題意，得 x=60y， 2x=100(﹣ y) 解得 x=60， y=1 【說明】 本題是一道應用題，給出一些條件，但沒有明確提問 .該題要求考生根據所給信息，就自己提出的問題進行解答 .這屬于結論“有限”開放型題目 .說到“有限”，是因為題目實際上限定了只能就該汽車的“路程”或“時間”提問，并且提出的問題要能用“二元一次方程組”解決 .它要求解題者從分利用條件進行大膽而合理的猜測 ,發現規律 ,得出結論 .這類題主要考察考生的發散性思維和所學知識的 應用能力 . 5。＝ 4 2 12BE tBF t???， t＝ 45 ． ∴ t＝ 1 或 45． 【說明】 動點問題中隨著點的運動圖形的形狀會發生改變 ， 所以當它圖形是直角三角形 ， 等腰三角形 ， 或三角形相似等問題常常要對它進行分類討論 .近幾年中存在性問題中也常常體現分類討論的思想 . (二 )圖形運動型問題 (主要以幾何圖形、函數圖象的平移為主 ) (1)綜合題中探究幾何圖形的運動而導致重疊部分形狀的改變 例 6 如圖 1561，已知直線 28:133ly x??與直線 2 162:l y x? ? ? 相交于點 C， l l2分別交 x 軸于 A、B 兩點．矩形 DEFG 的頂點 D、 E 分別在直線 l l2上，頂點 F、 G 都在 x 軸上，且點 G 與點 B 重合． (1)求△ ABC 的面積； (2)求矩形 DEFG 的邊 DE 與 EF 的長； (3)若矩形 DEFG 從原點出發，沿 x 軸的反方 向以每秒 1 個單位長度的速度平移，設移動時間為 t (0≤ t≤ 12)秒，矩形 DEFG 與△ ABC 重疊部分的面積為 S，求 S關于 t 的函數關系式，并寫出相應的 t 的取值范圍 ． 【分析】 本題是將矩形 DEFG 平移，導致與 ABC 重疊圖形的形狀發生改變 . 要求能分析出圖中哪幾個臨界點，對自變量進行分段，用關于 t的函數來表示 . 【解】 (1)由 28033x??，得 4x?? ，∴ A 點的坐標為 (－ 4， 0)． 由 2 16 0x? ? ? ，得 ? ∴ B 點的坐標為 (8， 0). ∴ ? ?8 4 12 .AB ? ? ? ? A D B E O C F x yy 1ly 2l （ G）圖 1561 由 28332 16yxyx? ????? ?? ??，解得 5?????， ∴ C 點的坐標為 (5， 6). ∴ 11 1 2 6 3 6 .22S A B y cABC ? ? ? ? ? ? (2)∵點 D 在 1l 上且 288 8 833D B Dx x y? ? ? ? ? ? ?， ． ∴點 D 坐標為 (8， 8)， ∵點 E 在 2l 上且 8 2 1 6 8 4E D E Ey y x x? ? ? ? ? ? ? ?， ． ． ∴ E 點坐標為 (4， 8)∴ OE＝ 8－ 4＝ 4， EF＝ 8 (3)① 當 0≤ t＜ 3 時，如圖 1562，矩形 DEFG 與 △ ABC 重疊部分為五邊形CHFGR (t＝ 0 時，為四邊形 CHFG)． 過 C 作 CM AB? 于 M ，則R t R tRGB C MB△ ∽ △ ． ∴ BG RGBM CM? ， 即 36t RG? ， ∴ 2RG t? ． R t R tAF H AMC△ ∽ △ ， ∴ ? ? ? ?1 1 23 6 2 8 82 2 3A B C B R G A F HS S S S t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?△ △ △ ． 即 24 1 6 4 43 3 3S t t? ? ? ? ． ② 當 3≤ t＜ 8 時如圖 1563，矩形 DEFG 與 △ ABC 的重疊部分為梯形 HFGR. 由 ① 知， HF＝ ? ?283 t?. ∵ Rt△ AGR∽ Rt△ AMC， ∴ RC AGCM AM? ，即 1269RG t?? ， H H A D B E O R F x yy 1ly 2l M 圖 1564 G C A D B E O C F x yy 1ly 2l G 圖 1562 R M A D B E O C F x yy 1ly 2l G 圖 1563 R M ∴ ? ? ? ? ? ?1 1 2 28 1 2 42 2 3 3s H F R G F G t t??? ? ? ? ? ? ? ?????.即 S＝ 8 8033t??. ③ 當 8≤ t≤ 12時，如圖 1564所示，矩形 DEFG與 △ ABC的重疊部分為△ AGR， 由 ② 知， ? ?21 2 , 1 23A G t R G t? ? ? ?， ∴ S= ? ? ? ?1 1 21 2 1 22 2 3A G R G t t? ? ?.即 ? ?21 123St??.∴ 21 144833S t t? ? ? . 【說明】 圖形的平移導致與其他圖形的重疊部分形狀發生改變，考查學生能運用函數，數形結合、分類討論等數學思想在解題中靈活運用，也是對學生動手操作、空間想象能力的考查． 【教學建議】 (1)對于想象能力不夠強的學生，為防止在分類討論時分類不完整，也可讓學生運用透明的紙片或網格紙做實驗，在實驗中仔細觀察．特別是遇到更復雜的重疊部分的情況 .如 09 年山西的第 26 題， 但 09 年長春的第 26 題就考查學生的空間想象能力，無法動手實驗 . (2)平時上課可借助多媒體幾何畫板演示圖形移動過程中圖形的的形狀在改變而且重疊部分的面積也在變化的例題，讓學生積累這類題的感性認識，積累解題經驗．本題還可以在此基礎上進行延伸拓展 :求重疊部分面積的最大值 .即求函數的最值問題，也是中考熱點之一 . (2)探究拋物線 的平移 例 7 已知二次函數的圖象以 A(－ 1， 4)為頂點，且過點 B(2，－ 5)． ①求該函數的關系式； ②求該函數圖象與坐標軸的交點坐標；