靜態場中的邊值問題(完整版)

　　

【正文】 （ 431） ? 式（ 431）為 歐拉方程 ，場 與 無關。 ? 在區域外的假象電荷（或電流）稱為 鏡像電荷（或電流） ， 大多是一些點電荷或線電荷（二維平面場情況）。 的上半空間內，圖 46（ a）和圖 46（ b）具有相同的電荷分布。同樣 zh??l? l??( ) ( ) ( )r r r? ? ????000( ) dd l n22ln2ppprrrrllrrplrrrrrr???? ? ? ????????????????Elpr ? 式中， ? 所以 0( ) d ln2pr pl r rr r?? ??? ??? ? ?? El000( ) ( ) ( )l n l n22ln2pplllr r rrrrrrr? ? ???? ? ? ??????????????? ?? ?2222r x z hr x z h??? ? ?? ? ?? ?? ?22220ln4 l x z hx z h?? ?? ??? ??? 2. 角形區域的鏡像法 圖 49所示為相交成直角的兩個導體平面 AOB附近的一個點電荷的情形，也可以用鏡像法求解。 圖 411 點電荷對接地導體球的鏡像 0 2d 2qa 1qR 2R 1R 1P1dP? ??2P 【 解 】 : 接地后，球上只剩下同 異號的感應電荷。 圖 413 線電荷對接地導體球的鏡像 l?1d 0 2d39。 【 解 】 采用直角坐標系，取分界面為 平面，電流沿 y方向流動，如圖 414(a)所示。IIA x z d???? ? ? ?0z?1 0 2 0zzA | A |???12121100AAzzzz???????12()39。I I I??212139。39。I 39。I I I???? ? 聯立求解可得 ? 由上式可知，鏡像電流 和 的方向由 和 決定，若 ， 與原電流的方向一致，而 則相反；反之也然。IIA x z d x z d????? ? ? ? ? ? ??d1?2?ozxI ?d1?2?ozxI?dI ??d1?2?oPxII? ????()a ()b ()c? 求解上半空間的磁場時，也可用鏡像電流來等效地代替分界面上的磁化電流。假設在與圓柱軸線的距離為 ，且平行于軸線方向上放置一條鏡像線電荷，密度為 ，可由邊界條件確定之。 ? 在上述問題中，若導體球不接地，球面上除了分布有感應負電荷外，還分布有感應正電荷，且球面的凈電荷為零，此時導體球的電位不為零，為保持球面是等位面還需在球上再加上一個鏡像電荷 ；且此 必須放在球心處，如圖 412所示。 1P2P3P0 1 2 31 1 1 14qR R R R? ????? ? ? ?????180n??21n? 圖 410 夾角為兩塊半無限大接地導板的鏡象 ? 3. 球面邊界的鏡像法 ? 基本思想： 當一個電荷位于導體球面附近時，導體球面上會出現感應電荷，球外任一點的電位由點電荷和感應電荷共同產生。 ? 011()4qRR? ?? ????2 2 2 2 2 20114 ( ) ( )qx y z h x y z h??????????? ? ? ? ? ???0 2 2 2 30 2 ( )Szqhz x y z??????? ? ? ?? ??22 2 3 2 2000ddd2 ()in Sqh r r qhq S qh r h r? ?????? ? ? ? ? ???? ? ? 【 例 47】 如圖 47所示， 為無限大接地的導電（ 平面（電壁），在 處有一無限長均勻帶電的細直導線，導線與 y軸平行且經過直角坐標（ 0，0， h）點，求上半空間（ ）場的電位函數。 一、 靜電場中的鏡像法 ? 1. 平面邊界的鏡像法 ? 【 例 46】 設在無限大導體平面 ( )附近有一點電荷，與平面距離為 ，導體平面是等位面，假設其電位為零，如圖 46所示。 21dP ( ) ( 1 )2d m mmmmxxm ! x??()mPx)1()( ???? mmmm rBrArf( 1 )0( ) P ( c os )mmm m mmA r B r??? ??????? 勒讓德多項式的前幾項 ： ? 勒讓德多項式具有正交性 012223334 2 4 245 3 5 35P ( ) 1P ( ) c os11P ( ) ( 3 1 ) 3 ( c os 1 )2211P ( ) ( 5 3 ) ( 5 c os 3 c os )2211P ( ) ( 35 30 3 ) ( 35 c os 30 c os 3 )8811P ( ) ( 63 70 15 ) ( 63 c os 70 c os 15 c os )88xxxxxx x xx x xx x x x??????? ? ????????? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ???101P ( c o s ) P ( c o s ) s i n d P ( ) P ( ) d 0 ( )m n m nx x x m n? ? ? ? ??? ? ???122012[ P ( c os ) ] sin d [ P ( ) ] d ( )21mm x x m nm? ? ? ??? ? ???? 鏡像法 ◆ 鏡像法的基本思想 ： ，有一假想鏡像電荷。 ◆基本思想： ，或者至少分段地與坐標面相合； ，待求偏微分方程的解可表示為三個函數的乘積，其中的每個函數分別僅是一個坐標的函數。故在場域內， u=常數。 邊值型問題的分類方法 （以電位函數的泊松方程為例） ? 第一類邊值問題的特征：已知全部邊界上任一點的電位。 第四章 靜態場中的邊值問題 ? 解邊界值問題的方法： 理論計算方法 ◆ 解析法