小波分析課件適用于初學者(完整版)

　　

【正文】 uter Science, Hebei University 傅立葉變換與時頻分析 [4] 我們知道，任何復雜的周期信號 f(t)可以用簡單的調和振蕩函數表示成如下形式： 這就是著名的傅立葉級數， tktk 00 s inc o s ?? 和都是簡單的調和 振蕩函數，直觀講都是正弦波。 因為信號是能量有限的 ， 即 滿足條件 ()的所有函數的集合就形成 L2(R) 圖像是二維信號 ， 同樣是能量有限的 。 實際上任何一幅數字圖像都是從真實的場景中經過采樣和量化處理后得到的 。 kk ba 和是函數 f(t)的傅立葉系數， 可由以下公式計算： ???????1000 )s i nc o s(2)(ikk tkbtkaatf ??() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 于是，周期函數 f(t) 就與下面的傅立葉序列產生了一一對應，即 從數學上已經證明了 ， 傅立葉級數的前 N項和是原函數 f(t) 在給定能量下的最佳逼近： ????2,1,0s i n)(22,1,0c o s)(20000??????ktd tktfTbktd tktfTaTkTk，??() () ? ???),(),(,)( 22110 babaatf ? () College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 對于 L2(R)上的非周期函數 f(t) ，有 ? ? 0s i nc o s2)(l i m201000 ??????????? ????dxtkbtkaatfT NkkkN??() ? ???? ?? dtetff ti ?? )()(?() 稱 )(? ?f 為 f(t)的傅立葉變換，反變換公式為 ? ????? ?? ? deftf ti)(?)(() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 有了傅立葉變換 ， 我們可以很容易地將時域信號 f(t)轉換到頻域 上 ， 于是信號的頻率特性一目了然 ， 并且與傅立葉級數一樣 ， 傅立葉變換將一段信號的主要低頻能量都集中在頻率信號的前面幾項 ， 這種能量集中性有利于進一步的處理 。 從函數分解的角度 ， 希望能找到另外一個基函數 ?(t) 來代替 sint。 而且由于對高頻成分采用逐漸精細的時域或頻域取樣步長 ， 從而可以聚焦到對象的任何細節 ， 所以被稱為 “ 數學顯微鏡 ” 。 1)。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University (3) 將小波函數沿時間軸向右移動一個單位時間，然后重復步驟 (1)、 (2)求出此時的小波變換系數 C，直到覆蓋完整個信號長度，如圖所示； College of Mathematics and Computer Science, Hebei University (4) 將所選擇的小波函數尺度伸縮一個單位，然后重復步驟 (1)、 (2)、 (3)，如圖所示； (5) 對所有的尺度伸縮重復步驟 (1)、 (2)、 (3)、 (4)。,)()(:)4。對于任意一幅圖像，都可以用不同的量化空間來表示，細節比較豐富的部分用高分辨率來表示，細節比較單一的部分可用低分辨率來表示。由 ?(t) 的正交性可得： 對雙尺度方程兩邊取傅立葉變換，可得頻域上的的雙尺度方程： ZkkttgZkktthkk??????，)2(),()2(),(???? () () ??????????????????????????2?2)(?2?2)(???????????gh() () College of Mathematics and Computer Science, Hebei University ??????kikkkikkeggehh????21)( 21)( :其中() () 從信號處理的角度 ， h是與 ?(t)對應的低通濾波器 ， g是與 ?(t) 對應的高同濾波器 ， {h， g}既可以表示為時域上的離散序列形式{hk， gk}k?Z， 也可以表示為頻域上的 2?周期函數 {h (?)， g(?)}。 這里牽涉到尺度函數 ?(t)與濾波器系數 {hk}k?Z之間的關系問題： ? 如果有一個 L2(R)空間的尺度函數 ?(t)， 一定能構造出雙尺度方程 () ， 從而找到一組滿足 ()的濾波器 {hk}k?Z； ? 反過來 ， 如果有一組濾波器 {hk}k?Z滿足某個雙尺度方程 ， 由此求解得到的函數卻不一定是滿足 MRA的尺度函數 ， 這樣無法保證雙尺度方程解的平移構成 L2(R) Riesz基 若 ?(t)是正交的 ， 則相應的濾波器 h有什么性質呢 ？ 定理 1[3] 若 ?(t)是正交的 ， 則相應的濾波器 {hk}必須滿足條件： 1)0(1)()( 22????hhh ???() () 但是，如果 {hk}僅僅滿足 ()和 () ，并不能保證由雙尺度方程構造出的函數 ?(t)是正交尺度函數。 實際上 ， {?(t),?(t)}t?R 大量的性質 都可以由 對應的{h(?),g(?)}??R從頻域上反映出來 ， 甚至離散小波變換都可以借助濾波器來實現 ， 因此小波與濾波器具有緊密的關系 。例如可取 )()( ??? ? ?? ? heg i() 可以驗證 g(?)滿足 ()和 ()，對應的共軛鏡像濾波器為： kkk hg ???? 11)1(() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 因此當找到低通共軛鏡像濾波器 {hk}k?Z后 ， 利用公式 ()馬上可得高通共軛鏡像濾波器 {gk}k?Z。下面以圖象去噪為例說明小波應用策略。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波信號去噪一 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波信號去噪二 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 圖像融合 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 小波圖像去噪 [8] 因為噪聲信號多包含在具有較高頻率的細節中 ，所以小波去噪首先對圖像信號進行小波 分解 ， 可利用門限閾值對所分解的小波系數進行處理 ， 然后對圖像信號進行小波重構 ， 抑制圖像信號中的無用部分 ， 恢復圖像信號中的有用部分 。 College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 定理 設 {h,g}是由正交尺度函數和小波函數產生的共軛鏡像濾波器，則以下幾個條件等價： ? 在頻域上 ()式成立； ? 在時域上以下公式成立： ?????????????ZjkjjZjkkjjZjkkjjghZkgghh0 2220,20,2??() ? 定義調制矩陣： ???????????)()()()()(???????gghhm() College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 則 Rmm T ??? ??? ，1)()(() 利用共軛鏡像濾波器實現快速正交小波變換 [4] L2(R) 空間的一個 MRA產生了兩個子空間：尺度空間 {Vj}j?Z和小波空間 {Wj}