傅里葉變換的可視化及應用研究(完整版)

　　

【正文】 hand side may be made arbitrarily small by a suitable choice of a, and thus the desired formula (17) is proved. Since is an even function of u, the above equation may also be written in the formOn the other hand, is an odd function of u。 Series of the Fundamental follows from the considerations of 167。 Legk=squeeze(Leg(1,:,:))。x39。 Uout=1./Rout。[Q,R]=cart2pol(X,Z)。new_freq=ifftshift(filt_im)。 if or(abs(iM/2)=D0,abs(iM/2)=D1), filt(i,j)=1。F:\39。,39。x1=50:1/10:50。y=zeros(1,N+1)。,39。附錄程序：傅里葉系數計算：syms x H k tao Tint(H*exp(1i*2*k*pi/T*x)/T,x,tao/2,tao/2)繪制圖像：H=1。事實上，正是由于傅里葉級數、傅里葉變換、FFT所具有的這個物理意義才使得其在頻譜分析中得到廣泛應用。我們在已知能量和角動量的共同本征函數的前提下，將入射波，如形式的平面波，展開為以能量和角動量的共同本征函數為基的廣義傅里葉級數③將前幾級次的球面波用命令surf()做出圖像，（作圖程序見附錄） 球面波分量圖 球面波分量圖 球面波分量圖 球面波分量圖⑤（卷I），：科學出版社，③，：高等教育出版社，從圖中我們可以清晰的看到各級球面波的對稱性，以及各分量的大小，幅值隨級次增大的變化趨勢等。我們就用勒讓德函數的母函數③展開為勒讓德級數的例子來看看廣義傅里葉級數在MatLab中的可視化：：勒讓德函數的母函數展開為勒讓德級數形式。通過對整個處理過程的了解我們可以看出，圖像做FFT是為了使得本來交織在一起的原圖像信號與干擾信號在一定程度上剝離開，從而可以更容易的對圖像進行處理，去除干擾信號。下面我們用一個更形象具體，更貼近實際的例子。設原始信號為，伴隨有兩倍的均值為0、標準偏差為1的服從正態分布的隨機噪聲。事實上這也很自然的為FFT的實際應用提供了一個線索。FFT主體分為按時間抽樣FFT算法和按頻率抽樣FFT算法④兩種，但二者殊途同歸，最終都是通過不斷地迭代進行蝶形運算④從而達到簡化運算量的目的。其形式為 （311） 其中，是單位根。眾所周知，這些數學物理方程是從許多實際的問題中提煉出來的，因此解決這些數理方程本身就是對實際問題的處理，只要將方程中相應的參數對應于實際問題中的參量，就可以解決實際問題了。用MatLab中的stem()函數做出基波及各級諧波振幅的直觀圖像，這里令H=1，T=2，圖像如下（計算、作圖程序見附錄） 方波的傅里葉級數譜 方波脈沖的傅里葉變換譜從圖中可以清晰地看出基波及各級諧波的振幅對比，振幅隨級次的衰減、變化的趨勢一目了然。以2l為周期的任意周期函數的傅里葉級數形式為： （211） 若滿足狄里克雷充分條件，即：（1）在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點，（2）在一個周期內至多只有有限個極值點，則的傅里葉級數收斂于。傅里葉在求解熱傳導方程時產生的，隨后傅里葉變換、離散傅里葉變換（DFT）應運而生，并不斷的發展為一整套傅里葉分析理論體系。12附錄9五、傅里葉級數、傅里葉變換的意義3三、DFT、FFT的可視化及應用論文編碼： 首都師范大學本科學生畢業論文傅里葉變換的可視化及應用研究 作 者： 吳曉龍 院 系： 物理系 專 業： 物理學（師范） 學 號： 1070600080 指導教師： 郭懷明 日 期： 2011年5月9日 中文提要 傅里葉變換是由實空間向頻譜空間的變換。1二、傅里葉級數、傅里葉變換的可視化及應用傅里葉變換的Matlab可視化實現6四、廣義傅里葉級數的可視化及應用8 廣義傅里葉級數的Matlab可視化實現18英文原文傅里葉分析在很多方面都有應用，但直到快速傅里葉變換（FFT）的誕生才把傅里葉分析推向了高潮。亦可寫為復數形式的傅里葉級數： （212）①， of Mathematical Physics（Volume I），Wiley，1989，4950 傅里葉變換 對定義在上的非周期函數，在傅里葉級數形式中令半周期可得傅里葉積分公式形式，且若滿足條件：（1）在任意有限區間內滿足狄里克雷條件，（2）在上絕對可積，則的傅里葉積分收斂于。我們還可以做一些拓展，來看看傅里葉級數與傅里葉變換之間存在的微妙聯系。為了更直觀的體會傅里葉級數法解微分方程中的應用，我們用一個一維振動問題為例來看一下：：一維振動方程定解問題：③ 從物理實際上看，這個方程可以對應為一個受迫振動問題，方程右側實際上就是振動源的振動形式。第一式即為DFT，第二式稱為離散傅里葉逆變換（IDFT）。對于N個數據點的變換，FFT使復數乘法運算量從次減少到，大大降低了運算量。 FFT的實際應用我們知道，在實際生活中，很多問題我們得不到連續的函數形式，更得不到漂亮的解析式，因此也無從運用連續傅里葉變換來處理問題，而此時FFT的優勢便顯現出來了，我們只需要得到等間隔取樣的一些數據點，就可以完成對數據的變換。 夾雜隨機噪聲的原始信號 原始信號的FFT頻譜這樣的問題多出現在信號接收和光譜分析中。我們平時看電視時，有時電視不清楚時會在屏幕上出現波浪條紋，下面我們就看看FFT如何幫助我們處理處理圖像上夾雜的波浪條紋：：用FFT輔助處理夾雜周期條紋的圖像。當然，FFT在其他很多方面都應用廣泛。勒讓德函數的母函數公式為 將母函數與其勒讓德級數形式用mesh()函數分別作圖如下，其中勒讓德級數取到級次（作圖程序見附錄） 勒讓德函數的母函數圖象 勒讓德級數取至的圖像從圖像對比中可以看出級數形式與母函數相一致，只是在r=1附近有些不同，這是由于對級數截斷至造成的，隨截斷級次的增大，級數圖像將與母函數圖象越來越一致。同樣的，我們將波函數也做相同的級數展開，寫為其中在時就是。而另一方面，我們從傅里葉級數、傅里葉變換、FFT、廣義傅里葉級數的實際應用例子中可以明顯地看到它們在解決實際問題時的思路無外乎以下兩點：（1）將復雜的問題分解為若干簡單的問題求解（2）將糾纏的問題通過變換分離開來如果我們拋開傅里葉級數法、傅里葉變換本身，而僅從這兩點出發，我們便可以看到傅里葉級數法、傅里葉變換的更深層次的意義。T=2。MarkerFaceColor39。for k=1:N+1。y1=abs(sin(tao*x1/2)./x1/pi)/pi。LineWidth39。)。 end。new_im=ifft2(new_freq,M,N)。R(R==1)=NaN。 for l=1:20 Leg=legendre(l,cos(Q))。)axis([0 3 0 2 0 10])：⑥ [X,Z]=meshgrid(5::5)。 Bes=sqrtR.*besselj(k,R)。1 and from the orthogonality of the trigonometric functions that the best approximation in the mean of degree n is obtained by the socalled Fourier polynoialWith （15） The polynomial may also be written in the more concise form （15’） Is virtue of the relation . It is not a priori certain that these polynomials, which yield the best approximation in the mean, also yield a uniform approximation to the function—. it is not certain that the inginite series converges uniformly and represents the function f(x). This question is the central problem of the theory of Fourier series. For the sake of convenience we shall suppose that the function f(x) is initially defined only in the interval ,and the continued periodically beyond this interval by the functional equation . Furthermore, at each jump discontinuity, we requier f(x) to be equal to the arithmetic mean of the “righthand” and “lefthand”limits, and (h0), respectively。 therefore2. Extension of the Result to Several Variables. By repeated application of formula (16) analogous formulas are obtain for piecewise smooth functions of several variables。此外，在每個階躍間斷點上，我們要求函數值等于其左右極限的算術平均值，即和(h0)的平均值；也就是說可以寫成。系數與有關系， ，如果我們令和我們有隨n的增大，收斂于0而和函數一致收斂于g(x)。于是在本節開始所給出的定理已經完全得證。：如果一個周期函數f(x)是連續的并有直到(h1)階的連續導數，且其h階導數分段連續，那么如果f(x)的傅里葉展開是，則在時系數可以有以下估計，其中c為一常數。 這個方法基于無窮級數的一個非常重要的變換公式，即著名的泊松求和公式。 如果我們令，可以得到現在讓，于是，我們發現很可能得到公式（16） 只要證明可以這樣取極限就可以了。：通過重復使用公式（16）就可以得到對于分段光滑多變量函數的相似的公式；這些公式在函數連續時適用。（17）當f(x)為偶函數時化為當f(x)為奇函數時化為：定義偶函數f(x)為 當 當 當我們可以用傅里葉積分將其表示為右側的形式稱為“狄立克雷間斷因子”