不等式的證明方法5篇(完整版)

　　

【正文】 中數(shù)學的一個難點，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯法多種多樣，本節(jié)通這一些實例，歸納整理證明不等式時常用的方法和技巧。例6：已知a、b、c、d都是正數(shù)求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2分析：觀察式子特點，若將4個分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。cos2θ=sinθ∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1復習6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2xy+y2≤3(2)比值換元：對于在已知條件中含有若干個等比式的問題，往往可先設一個輔助未知數(shù)表示這個比值，然后代入求證式，即可。2k+3〈二〉(2k+2)2＞(2k+1)(2k+3)〈二〉4k2+8k+4＞4k2+8k+3〈二〉4＞3③∵③成立 ∴②成立，即當n=k+1時，原不等式成立由（1）（2）證明可知，對一切n≥2（n∈N），原不等式成立練習8：已知n∈N，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞13249構(gòu)造法根據(jù)求證不等式的具體結(jié)構(gòu)所證，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、合數(shù)和圖形等，達到證明的目的，這種方法則叫構(gòu)造法。2sinA+B2+c+π322 =4sinπ3=332∴sinA+sinB≠sinC≤332練習11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤184利用均值不等式等號成立的條件添項例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求證a4+b4＞ 18分析：若取消a≠b的限制則a=b= 12時，等號成立證明：∵a、b∈R+∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 ［(12)4］3=12a①同理b4+3(12)4 ≥b②∴a4+b4≥12(a+b)6(12)4=126(12)4=18③∵a≠b ∴①②中等號不成立∴③中等號不成立∴ 原不等式成立1．是否存在常數(shù)c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y對任意正數(shù)x,y恒成立？ 錯解：證明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故說明c存在。此方法靈活性大,需反復練習.（3）分析法：當綜合法較困難或行不通時,可考慮此法,（共13頁）AB數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)（4）數(shù)學歸納法：凡與自然數(shù)n有關的不等式,可考慮此法,但有時使用起來比較困難,探求解題途徑 求證 1+2x4179。b時，（a+）(b+)≥.故可設a=+xab2411b= x,(|x|且x185。a2+b2+c2+d2ab+bc+cd+da.②若a,b同號,則+≥2；若a,b,c均為正數(shù),則++≥+b2a+b2 ③若是正數(shù),則≥≥ab≥（當且僅當a=b時等號1122+abbaabbacbac成立）a2+b2+c2a+b+c3 若a,b,c是正數(shù),則≥3abc≥11133++abc（當且僅當a=b=c時等號成立） 若a,b,c0,且a+b+c=1,求證 ++179。=422即 4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)(1+11112)(1+)=1+++（9）利用極限證明不等式[2]證明：當x2(1+2)時,有(2x1)+2(2x3)+3(2x5)+....+xx3證： 在x0的情況下討論,令f(x)=(2x1)+(2x3)+3(2x5)+....+x,g(x)=x3則 f(x)=x(x+1)(2x+1)，6x(x+1)(2x+1)f(x)16于是 lim =lim=x174。x1ii22331+xi1+xi10111927++163。247。180。,因此AB，23452n2n+113242n1242n2n1)(180。180。a2+ab+b2=a+b, 于是(a+b)2 a2+ab+b2=a+b,則(a+b)1,又(a+b)24ab，(a+b)2 而(a+b)=a+2ab+b=a+b+aba+b+422243即(a+b)2a+b,所以（a+b), 綜上所述, 1a+b（6）向量法向量這部分知識由于獨有的形與數(shù)兼?zhèn)涞奶攸c,使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁,若借助向量的數(shù)量積的性質(zhì), 求證：求證1≤ 1x2x≤2++179。k=11ksinkx0,(0xp)就要綜合運用數(shù)學歸納法，反證法與極值法；有時可將n換成連續(xù)量x，、構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設、題斷的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟，技巧和語言特點．、利用基本不等式：善于利用已知不等式，特別是基本不等式去發(fā)現(xiàn)和證明新的不等式，例1 已知a，b206。252236。22238。(a+2)+(b+2)249。222235。2248。t247。0，即y179。An+nA(n1)Bni=0\(A+B)179。252.252.下面，：設A179。2248。5246。＝右：根據(jù)不等式左邊是平方和及a+b=1這個特點，選用基本不等式230。2234。230。220。252.證法一：(比較法)Qa,b206。1，可設x=rcosq,y=rsinq(0163。180。188。180。248。3= 222101+x11+x21+x310故（1）換元法這種方法多用于條件不等式的證明,換元法主要有三角代換和均值代第8頁（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計) 已知x2+y2163。g(x)x174。0（8）分解為幾個不等式的和或積[2] 已知a,b,c是不全相等的正數(shù),求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc證： Qb2+c2179。1113++abc1a1b1c所以 a+b+c179。an都是正實數(shù),則：111aa+12+188。0\當x206。要證不等式xx+2y+xx+2y≤23，因為x,y是正數(shù)，即證3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即證3x2+12xy+3y2 ≤2(2x2+2y2+5xy),即2xy≤x2+y2，而此不等式恒成立，同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。1倍數(shù)添項若不等式中含有奇數(shù)項的和，可通過對不等式乘以2變成偶數(shù)項的和，然后分組利用已知不等式進行放縮。例9：已知p3+q3=2，求證：p+q≤2分析：本題已知為p、q的三次，而結(jié)論中只有一次，應考慮到用術立方根，同時用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。(1)三角換元：是一種常用的換元方法，在解代數(shù)問題時，使用適當?shù)娜呛瘮?shù)進行換元，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成三角問題，充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問題。基本思想是把難于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。162。231。2n+2(sinx)22nn+22230。sinxcosx248。a230。231。232。1247。ai180。n2246。ai247。aibi)163。2，2即2a1b1a21AB163。i229。3abc(a0,b0,c0).中原工學院 利用著名不等式證明[1516]設a1,a2,L,an是n個正實數(shù)，則a1+a2+L+an179。(x)(ba)來證明某些不等式，例20 求證：sinxsiny163。(x),(x206。[1314]當x屬于某區(qū)間，有f162。cos2x+3sinx163。a1b1+a2b2+L+anbn，其中t1,t2,L,tn是1,2,L,=a2=L=an或b1=b2=L=：反序和163。[11]：設a1163。 依題設，構(gòu)造復數(shù)z1=x+yi，z2=a+bi，則z1163。1nn2180。+1247。1246。(A)的極大值點必在A==B時，f162。1+[8]形如f(x1,x2,L,xn)=sinx1sinx2Lsinxn的函數(shù)，其中0xi163。通過構(gòu)造一元二次方程，利用關于某一變元的二次三項式有實根時判別式的取值范圍， 設x,y206。232。232。+231。230。R)，則c=13+(1+a)t，230。an1b+（1）當n=2時，a2+b2179。32241180。***00022.,則 證明 令p=p212180。[4]證明 因為a1+a2+L+an=1，b1+b2+L+bn=1，所以 a1+a2+L+an=1，b1+b2+L+bn=a1b1+a2b2+L+anbn163。+0，baabbaab0，ba179。第一篇：不等式的證明方法中原工學院 常用方法（作差法）[1]在比較兩個實數(shù)a和b的大小時，：作差——變形——判斷（正號、負號、零）.變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、 已知：a0，b0，求證：證明 a+b2a+b2179。ab1，故 aabb（逆推法）從要證明的結(jié)論出發(fā)，一步一步地推導，最后達到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等）， 求證：5+71+ 要證3519+4155+71+15，即證12+23516+215，即352+15，41516，154，15 5+71+ [2]中原工學院證題時，從已知條件入手，經(jīng)過逐步的邏輯推導，運用已知的定義、定理、公式等，最終達到要證結(jié)論， 已知：a，b同號，求證：證明 因為a，b同號，所以 則abab+ba179。a，這與已知矛盾，所以na把所要證明的結(jié)論先分解為幾個較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質(zhì)， 已知：a1+a2+L+an=1，b1+b2+L+bn=1，求證: a1b1+a2b2+L+anbn163。L180。9999100001212180。1，求證：an+bn179。證明 設a=13t，b=13at(t206。1249。at247。+(1+a)t3 設a=sinq，則b=cosq；設x=sinj，則y=cosj 所以 ax+by=sinqsinj+cosqcosj=cos(qj)163。1+a2