放縮法(不等式、數列綜合應用)(完整版)

　　

【正文】 希望大家能夠進一步的了解放縮法的作用，掌握基本的放縮方法和放縮調整手段.第二篇：放縮法證明數列不等式放縮法證明數列不等式基礎知識回顧:放縮的技巧與方法：（1）常見的數列求和方法和通項公式特點：① 等差數列求和公式：錯誤！未找到引用源。…229。(akak+1)ak+2.232k=1n證明 Q0a1163。(+2+...+n)=(1n), a2a3an+12322223223an1aan\1+2+...+n(n206。特別值得一提的是，高考中可以用“放縮法”證明不等式的頻率很高，它是思考不等關系的樸素思想和基本出發點, 有極大的遷移性, 對它的運用往往能體現出創造性。N*).求證：an1a1a2++...+n(n206。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。a3163。4+L+n(n+1)求證： 22122n+12證明：∵ n(n+1)n=nn(n+1)(n+)=2n+1∴ nn(n+1)1+3+L+(2n+1)n(n+1)(n+1)2an∴ 1+2+3+L+nan，∴2222n+1本題利用n，對an中每項都進行了放縮，從而得到可以求和的數列，達到化簡的目的。因此，使用放縮法時，如何確定放縮目標尤為重要。（關于錯誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構造出等比數列的首項與公比，進而得出等比數列的通項公式，再與原通項公式進行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。另一側為求和的結果，進而完成證明 應用舉例:類型一：與前n項和相關的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學高三摸底考試】已知數列錯誤！未找到引用源。的通項公式；（2）設錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。（1）求數列的通項公式；錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。可推廣為：錯誤！未找到引用源。（1）求證：數列錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。若當錯誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯誤！未找到引用源。數列錯誤！未找到引用源。的最小值；（3）若數列錯誤！未找到引用源。且滿足錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。并說明理由；（2）求證： 錯誤！未找到引用源。對任意錯誤！未找到引用源。(n＋2)＝錯誤！未找到引用源。成等比數列，求實數錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。的指數類函數）③ 錯位相減：通項公式為“等差錯誤！未找到引用源。例如常數錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。若數列錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。而錯誤！未找到引用源。！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。中最大項必在A中，由（2）得錯誤！未找到引用源。的通項公式為錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。則有：錯誤！未找到引用源。為實數，且錯誤！未找到引用源。① 判定錯誤！未找到引用源。時，數列錯誤！未找到引用源。注：對于錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。；（3）問是否存在正整數錯誤！未找到引用源。成立，因為錯誤！未找到引用源。不成立，當錯誤！未找到引用源。所以當錯誤！未找到引用源。．⑴ 求證：數列錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。要使錯誤！未找到引用源。為正偶數恒成立，錯誤！未找到引用源。設錯誤！未找到引用源。當錯誤！未找到引用源。的關系式．3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學期期中考試】已知數列滿足，且． 的前項和為，滿足，．數列（1）求數列（2）若和的通項公式；，數列的前項和為，對任意的，（，都有，求實數的取值范圍；（3）是否存在正整數，使，請說明理由．【答案】（1）（2））成等差數列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，（3）不存在（2）由（1）得于是所以，兩式相減得所以由（1）得因為對 即所以恒成立，都有，恒成立，記所以因為從而數列于是，為遞增數列，所以當．（），使成等差數列，則，時取最小值，（3）假設存在正整數即，若為偶數，則若為奇數，設于是當時，為奇數，而為偶數，上式不成立.，則，與矛盾；，即，此時4．已知數列錯誤！未找到引用源。．（1）求數列錯誤！未找到引用源。求數列錯誤！未找到引用源。可求得錯誤！未找到引用源。.當錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。5．【江蘇省啟東中學2018屆高三上學期第一次月考】設數列錯誤！未找到引用源。時，求證： 錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。求錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。同理可得錯誤！未找到引用源。經檢驗錯誤！未找到引用源。是等差數列；（2）若 錯誤！未找到引用源。.【答案】（1）見解析（2）錯誤！未找到引用源。是等差數列.（2）因為的任意的錯誤！未找到引用源。滿足條件，當錯誤！未找到引用源。則錯誤！未找到引用源。為正整數，且錯誤！未找到引用源。為減函數，錯誤！未找到引用源。.9．已知數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}，{}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。．（1）若錯誤！未找到引用源。的等比數列，若不等式錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。180。2121248。2121248。2,k206。3)(k179。N，有an+1=anan1La2a1+1成立。22ii1.(i179。(0)=0，即x=0是極大值點，也是最大值點f(x)=ln(1+x)x163。an1254。又∵x0時，有xln(1+x)，令x=1n+1230。1∴n231。234nn+1232。230。ln(n+2)ln2 n+1248。1232。N)=的最小值為，最大值為，且abnnn2x+1（1）求；（2）證明：：161+{an}的前n項的和為sn，且an+2（1）求證：數列sn是等差數列； 11117+++L+ 444c14c2c34+L+17 1=2sn，n206。c1+c2+c3+L+ 162n(n+1)an+1an{an}的前n項的和為sn滿足：sn1,6sn=(an+1)(an+2)；（1）求an；（2）設數列{bn}滿足an(2n1)=1,并記Tn=b1+b2+b3+L+bn，b求證：3Tn+1log2n(a+3)（函數的單調性，貝努力不等式，構造，數學歸納法）{an}滿足：a1=1,nan+1(n+1)an=+1，anan+1記b1=a1,bn=n[a1+（1）求an；（2）證明：(1+2111++L+](n179。∈N*，求1+a＋b＋c＜2。3都有f(n)。根據題目特征，通過構造特殊的單調函數，利用其單調性質進行放縮求解。(a+1)an；（2）等比數列{an}中，a1=，前n項的和為An，且A7，A9，A8成等差數列．設a1bn=n，數列{bn}前n項的和為Bn，證明：Bn＜．31an3．放縮后為差比數列，再求和例4．已知數列{an}滿足：a1=1，an+1=(1+n)an(n=1,2,3L)．求證： n2an+1an179。a1+a+b1+b。b時f（a）f（b）ab。n(n+1)(n+1)=180。222a2a3an11111)(1+)(1+)L(1+)4 b1b2b3bn4第五篇：2012高考專題數列與不等式放縮法高考專題——放縮法一、基本方法1.“添舍”放縮通過對不等式的一邊進行添項或減項以達到解題目的，這是常規思路。n+2236。1xdx=lnxn+22法3：數歸證明：、（1）求證：2n++L+246。230。L180。n+2246。246。20，則1246。an=．（3）法1：a1+a2+L+an=111+1+112+1+L+111246。ln(1+x)163。i=1ai(ai1)2+++L+n1=2+(112)=3n1n1法3：數歸證\229。解：（1）用數學歸納法易證。N+)，求證：229。N)++L+1n1n31n11n法1：放縮一：n(n1)=(n179。i=1Ti=313230。2n+1+=(2n+11)(21)nSn(2n+11)(21)=1230。個正數，組成公比為錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。其中n∈N*．（1）若數列{an}是公差為2的等差數列，求數列{}的通項公式；（2）若存在實數λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤，求證：數列{an}是等差數列． 【答案】（1）＝1．（2）．已知各項不為零的數列錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。即數列錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。的等差數列，所以錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。均有錯誤！未找到引用源。進而求出錯誤！未找到引用源。即可獲證錯誤！未找到引用源。經檢驗錯誤！未找到引用源。同理可得錯誤！未找到引用源。.（2）因為集合錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。時，求證：當錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。試題解析：（1）由錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。的通項公式；（2）是否存在自然數錯誤！未找到引用源。其中，錯誤！未找到引用源。即錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。故實數錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。的取值范圍；⑶ 設數列錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。即錯誤！未找到引用源。所以只要錯誤！未找到引用源。成立？說明理由.【答案】（1）錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數：錯誤！未找到引用源。為首項，錯誤！未找到引用源。若錯誤！未找到引用源。時，①求數列錯誤！未找到引用源。！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.于是當錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.現設錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。的值；（3）