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構(gòu)造法與放縮法在不等式證明中的運(yùn)用(更新版)

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【正文】 ab2ab1a+b2111125=[(a+b)+]=(1+)2179。?????① ab2解說：如果直接運(yùn)用二元均值不等式縮小，即采用縮小方式a+11179。通過驗(yàn)證k的前幾個(gè)特殊值可以發(fā)現(xiàn)，(2k+1)22k+2對(duì)k=1，2，3，4成立，但對(duì)k=5，6等不成立，其根源在于忽視了“當(dāng)k增大時(shí)，指數(shù)函數(shù)2k+2比冪函數(shù)(2k+1)2增大得快”這一基本事實(shí)。以上兩個(gè)例中的“放”或“縮”的方式都是通過對(duì)待證不等式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析才獲得的“放”或“縮”的方法。例1設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，且m為正數(shù)，求證：abc+。例5：設(shè)a、b、c206。例3：設(shè)a、b、c206。N+)2222123nloga(a+1)1(3)已知x＞0, y0，z0求證x+y+z（4）已知n206。難點(diǎn)：放縮法證明不等式。當(dāng)然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節(jié)省時(shí)間，這一點(diǎn)在考試時(shí)間有限時(shí)顯得很重要。欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。：執(zhí)果索因。)時(shí)，j39。(x)0，h(x)單調(diào)遞增，2當(dāng)e2x+165。h39。)。)時(shí)，+165。)，exxex由于曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行，所以f39。不等式來源于人教A版選修45不等式選講第1+x11+x21+xnn+1。+++L+247。2013248。179。()n，1+x11+x21+xnn+11+x11+x21+xn1+nmn由（2）有(1+n)(1+m)，令m=2012得(1+n)20122012nn2012n1n120122012(1+2012)n，于是(1+n)(1+2012)23，即(1+n)20132n1n1n111)n()2012，所以(1+n201312012230。f(0)=0，由nm0有(1+n)0，m(1+m)n0，要證(1+n)(1+m)，只需ln(1+n)ln(1+m)，即只需證 mnmn只需mln(1+n)nln(1+m)，ln(1+n)ln(1+m)ln(1+x),(x0) 于是設(shè)g(x)=xnm1xx1ln(x+1)ln(x+1)xx+1lnx+1()()g39。ln(x+1)+1249。235。).（2）由（1）得，當(dāng)x=0時(shí)，f(x)163。即(++L+)n179。247。232。x故231。2n1n12012xnx12x21++L+179。(0,+165。(1,+165。(x)0，因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+165。230。()當(dāng)0xe時(shí)，h39。(0,+165。一、不等式的初等證明方法：由因?qū)ЧＳ行┎坏仁酵ㄟ^變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化隱蔽為外顯的積極效果。關(guān)鍵是你有沒有培養(yǎng)起良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，有沒有掌握正確的數(shù)學(xué)解題方法。【重點(diǎn)、難點(diǎn)】重點(diǎn)：放縮法證明不等式。【合作探究】證明下列不等式(1)(2)，已知a0，用放縮法證明不等式:loga(a1)1111++...+2(n206。由例例2也可知運(yùn)用放縮法前先要觀察目標(biāo)式子的符號(hào)。2223833∴左邊=(a+b+c)22(ab+bc+ca)+abc23434 =92a(b+c)+bc(a)≥92a(3a)+(3a)2(a)2383341633=9+(3a)[(3a)(a)a]=9(3a)[a2=a+4]=9(a3+2a2a+12)83388=99393+a(a22a+1)=+a(a1)2≥2282893 ∴a2+b2+c2+abc≥22[評(píng)析]：本題運(yùn)用對(duì)稱性確定符號(hào)，在使用基本不等式可以避開討論。本文以通過對(duì)幾道實(shí)例的分析，就證明不等式的過程中如何進(jìn)行“放”或“縮”作些淺談。L=312(n1)12n132本題是95年上海的一道高考題，本題通過對(duì)待證式子的變形，然后在假分?jǐn)?shù)的分子、分母上加上同一個(gè)常數(shù)，分?jǐn)?shù)的值縮小，以達(dá)到能夠約分的目的，進(jìn)而得到所證的結(jié)果。N)是否合理。R，a+b=1，求證：(a+12125)+(b+)2179。121111)+(b+)2179。

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