不等式的證明方法5篇(更新版)

　　

【正文】 ，故yax163。(A)=cos(BA)0, 知f162。230。+L+231。=2+32+43+L+12n+1n13n180。2，求證：b(x2y2)+2axy163。2故 b(x2y2)+2axy163。a1bt1+a2bt2+L+anbtn163。R，求證：4163。cos2x+3sinx163。g162。0利用中值定理：f(x)是在區(qū)間[a,b]上有定義的連續(xù)函數(shù)，且可導(dǎo)，則存在x，axb，滿足f(b)f(a)=f162。[3(11a+1b+1c)]3或 3(1+11ab+1c)163。a2ibi163。1（3）a2b22211下面證不等式(3),有均值不等式，a1b1A2+B2A2B2163。2+i=2i=1AB(4)中原工學(xué)院根據(jù)（2），（4）式即2AB(229。229。230。229。229。i=1248。 n+179。n+2230。232。sinx248。179。(x)=lnx+1,f162。1比較法比較法是證明不等式的最基本方法，具體有“作差”比較和“作商”比較兩種。證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2練習(xí)5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜16換元法換元法是許多實際問題解決中可以起到化難為易，化繁為簡的作用，有些問題直接證明較為困難，若通過換元的思想與方法去解就很方便，常用于條件不等式的證明，常見的是三角換元。例8：已知 x1=y+12=z23，求證：x2+y2+z2≥4314證明：設(shè)x1=y+12=z23=k于是x=k+1，y=zk1，z=3k+2把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k1)2+(3k+2)2=14(k+514)2+4314≥43147反證法有些不等式從正面證如果不好說清楚，可以考慮反證法，即先否定結(jié)論不成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步推導(dǎo)出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原有結(jié)論是正確的，凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題，適宜用反證法。1構(gòu)造函數(shù)法例11：證明不等式：x12x ＜x2（x≠0）證明：設(shè)f（x）=x12xx2（x≠0）∵f(x)=x12x+x2x2x2x1+x2=x12x［1(12x)］+x2=x12xx+x2=f（x）∴f（x）的圖像表示y軸對稱∵當x＞0時，12x＜0，故f（x）＜0∴當x＜0時，據(jù)圖像的對稱性知f（x）＜0∴當x≠0時，恒有f（x）＜0 即x12x＜x2（x≠0）練習(xí)9：已知a＞b，2b＞a+c，求證：bb2ab＜a＜b+b2ab2構(gòu)造圖形法例12：若f（x）=1+x2，a≠b，則|f（x）f（b）|＜ |ab|分析：由1+x2 的結(jié)構(gòu)可知這是直角坐標平面上兩點A(1，x)，0(0，0)的距離即 1+x2 =(10)2+(x0)2于是如下圖，設(shè)A(1，a)，B(1，b)則0A= 1+a2 0B=1+b2|AB|=|ab|又0A||0B＜|AB|∴|f(a)f(b)|＜|ab|練習(xí)10：設(shè)a≥c，b≥c，c≥0，求證 c(ac)+c(bc)≤ab10添項法某些不等式的證明若能優(yōu)先考慮“添項”技巧，能得到快速求解的效果。正解：x=y得23 ≤c≤23，故猜想c= 23,下證不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立。2x3+x2分析 用相減比較法證明AB[f(x)]（f(x)g(x)，其中f(x),g(x)同號）,或變形為多個因子的[f(x)]2+[g(x)]乘積、： Q2x42x3x2+1=2x3(x1)(x1)(x+1)=(x1)(2x3x1)=(x1)(2x32x+x1)13=2(x1)2[(x+)2+]442x42x3x2+1179。0)22證：考慮a與b都去特殊值,既當a=b=時有（2+）（2+）=4則a2+1b2+1(a2+1)(b2+1)(ab1)2+111（a+）(b+)=== abababab33(+x2)2+1(+x2)2+125=44=.114x244故原不等式得證.（2）利用分子有理化證明不等式分母有理化是初中數(shù)學(xué)教材中重要知識,它有著廣泛的應(yīng)用,而分子有理化也隱含于各種習(xí)題之中,它不但有各種廣泛的作用,[1] 求證131212+11 \113+12113+12,1211=112+11, 112+11即 1312四種“平均”之間的關(guān)系,既調(diào)和平均數(shù)H(a)≤幾何平均數(shù)G(a)≤第4頁（共13頁）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)算數(shù)平均數(shù)A(a)≤平方平均數(shù)Q(a).寫得再詳細些就是：若a1,a2,a3188。9第5頁（共13頁）1a1b1c數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)分析 證法較多,但由a+b+c=1與++之間的聯(lián)系,：由算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均的關(guān)系可知a+b+c3 179。6 故原命題得證.（6）用“雙十字法”證明不等式 已知x,y0并且x+y=1 求證：x2+3xy+2y22xy32x221xy11y24x+21y+2證：因 x2+3xy+2y22xy3=(x+2y)(x+y)2xy3第6頁（共13頁）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)=(x+2y3)(x+y+1)0 類似的，2x221xy11y24x+21y+2=(2x+y2)(x11y1)0 故結(jié)論成立.（7）用恒等變形推導(dǎo)[2] 求證：對于任意角度q,都有5+8cosq+4cos2q+cos3q≥0證：5+8cosq+4cos2q+cos3q=5+8cosq+4(2cos2q1)+(4cos3q3cosq)=1+5cosq+8cos2q+4cos3q=(1+cosq)(4cos2q+4cosq+1)=(1+cosq)(2cosq+1)2179。165。180。條件,即有，0(1a)a≤.24232。188。180。故 180。、小結(jié)證明不等式的途徑是對原不等式作代數(shù)變形,在初等數(shù)學(xué)中常用的第11頁（共13頁）1a1b1c數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)方法大致有放縮法、代換法、歸納法、,僅在中學(xué)教科書上就有很多方法,但還不足以充分開拓人們的思維,為此,我們要進一步探究不等式的證明方法,[1] [J].教學(xué)月刊(中學(xué)版),2007(6).[2] [J].襄樊職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2007(4).[3] [J].中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊,2007(26).[4] 郭煜,張帆不等式證明的常見方法[J].高等函授學(xué)報(自然科學(xué)版),2007(4).[5] [J].數(shù)學(xué)愛好者(高二版),2007(7).[6] [J].張家口職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2007(1).[7] [J].中國科技信息,2007(18).[8] 劉玉璉,[M].北京:高等教育出版第12頁（共13頁）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)社,1988,P201211.[9] [J].承德民族師專學(xué)報,2006(2).[10] [J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,1995(2).第13頁（共13頁）第五篇：不等式的證明方法幾個簡單的證明方法一、比較法：ab等價于ab0；而ab0等價于ab，關(guān)鍵是要作適當?shù)淖冃危缫蚴椒纸狻⒉痦棥⒓訙p項、通分等，、綜合法與分析法：綜合法是由因?qū)Ч词怯梢阎獥l件和已知的不等式出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的不等式；分析法是執(zhí)果索因，即是要逐步找出使結(jié)論成立的充分條件或者充要條件，：第一，要熟悉掌握第一章的基本不等式和后面各章中著名的各種不等式；第二，要善于利用題中的隱含條件；第三，、反證法：，從原不等式的結(jié)論的反面出發(fā)，通過合理的邏輯推理導(dǎo)出矛盾，、放縮法：要證ab，又已知(或易證)ac，則只要證cb，這是利用不等式的傳遞性，將原不等式里的某些項適當?shù)姆糯蠡蚩s小，： ①添加或舍去一些項，如：a2+1a；n(n+1)n；②將分子或分母放大（或縮小）；③利用基本不等式，如：log3lg5（n(n+1)lg3+lg522)2=lglg=lg4； n+(n+1)；④利用常用結(jié)論：k+1k=1k+1+=1k11k1k12k1k；1k(k+1)1k+11k1k+11k1k(k1)1k；=（程度大）1k1=(k1)(k+1)=2k1（)；（程度小）五、換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，：已知x2+y2=a2，可設(shè)x=acosq,y=asinq；已知x2+y2163。R，且a+b=：(a+2)+(b+2)179。b=1a239。顯然成立，：分析法是基本的數(shù)學(xué)方法，使用時，要保證“后一步”是“前一步”：(綜合法)由上分析法逆推獲證(略).證法四：(反證法)假設(shè)(a+2)2+(b+2)2252，則 a2+b2+4(a+b)+8252252.由a+b=1，得b=1a，于是有a2+(1a)2+121246。2125179。證法六：(均值換元法)∵a+b=1，所以可設(shè)a=12+t，b=t，1∴左邊＝(a+2)+(b+2)=(+t+2)2+(t+2)25246。=2t+179。故(a+2)+(b+2)179。A+nAnn(n1)B