微分方程及其應用ppt課件(專業版)

　　

【正文】 xyC? ? ? ? ?將 代 入 通 解 中 得1 2 1 2 10 1 1 , 2 ,xxy y C C e C C C???? ? ? ? ? ?將 代 入 中 得 , 則2. xy x e??于 是 所 求 特 解 為 分離變量法 1．定義 形如 ? ? ? ? (1 )dy f x g ydx ?的方程稱為可分離變量的方程 . 特點 等式右端可以分解成兩個函數之積 ， 其中一個只是 x 的函數 ， 另一個只是 y的函數 ? ? ? ?ygxfdxdy ?2． 解法 設 ? ? ? ? ? ?? ?1 0d y f x d x g ygy ??分 離 變 量 得當 g(y)≠0 時，兩端積分得通解 ? ? ? ?1 dy f x dxgy ???? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 x N y d x M x N y d y??(2) 方 程 也 是 變 量 可 分 離 的 方 程注 (1)當 g(y)=0時，設其根為 y =α ，則 y =α 也是原方程的解； ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?2112120 , 0N y M xd y d x N y M xN y M x? ? ? ?事 實 上3 d y xd x y??例 求 微 分 方 程 的 通 解 .解 分離變量，得 ydy = xdx , 2211122y x C? ? ?兩 邊 積 分 得? ?22 y C C C? ? ?即 為 所 給 方 程 的 通 解? ?? ?21214 1 .1 xxydy ydx yx ??? ? ??例 求 方 程 滿 足 初 始 條 件 的 特 解2211yxd y d x????解 分 離 變 量 , 得? ? ? ?221 1 1, l n 1 l n 1 l n2 2 2y x C? ? ? ? ?兩 端 積 分 得? ? ? ?2211 x y C? ? ?即 原 方 程 的 通 解 為1 1 , 4 ,xyC? ??由 得? ? ? ?22, 1 1 4 .xy? ? ?因 此 滿 足 初 始 條 件 的 特 解 為 說明：在解微分方程時 ， 如果得到一個含對數的等式 ， 為了 利用對數的性質將結果進一步化簡 ， 可將任意常數寫成 klnC的形 式 ， k的值可根據實際情況來確定 ， 如例 2中取 k=1/2. 例 5 設降落傘從跳傘臺下落 ， 所受空氣阻力與速度成正比 ， 降落傘 離開塔頂 (t = 0)時的速度為零 。 （ 2 ）求當價格為 1 元時 , 市場對該商品的需求量 。第六章 微分方程及其應用 常微分方程的基本概念與分離變量法 一階線性微分方程 二階常系數線性微分方程 常微分在經濟中應用 常微分方程的基本概念與分離變量法 微分方程的基本概念 1. 微分方程 含有未知函數的導數或微分的方程稱為微分方程 。 (3) 當P ? ? ?時 , 需求量的變化趨勢如何 ? . 2 關于連續復利方面 例 假設銀行年利率為r，現存入0A元，試分析銀行的利率分別按年復合、季復合、月復合、日復合及連續復合時 : （ 1 ） t 年后 , 總金額()A A t?的計算公式 。 如 y = x2 + 2是方程 （ 1） 的特解 . 2 11 2 1 0 ? ,2?y C x x y y?? ? ? ? ?例 函 數 是 方 程 的 解 嗎 若 是 解 是 通 解 還 是 特 解2 1 22y x y C x?? ? ?解 將 及 代 入 所 給 方 程 左 端 得2 2 2 212 2 1 2 2 1 1 02C x C x C x C x??? ? ? ? ? ? ? ?????2 1 .2y C x? ? ? 是 所 給 方 程 的 解2 12y C x??又 中含有一個任意常數 C，而所給方程又是一階微分方程， 2 12y C x? ? ? 是所給方程的通解 . ? ?12002 1 011xxxy C x C e x y x y yyy???? ?? ? ? ? ? ??? ? ?例 驗 證 是 微 分 方 程 的 通 解 ,并 求 出 滿 足 初 始 條 件 及 的 特 解 .1 2 1 2 2,:x x xy C x C e y C C e y C e? ??? ? ? ? ?解 將 及 代 入 所 給 方 程 左 端 得? ? ? ? ? ?2 1 2 1 210x x xx C e x C C e C x C e? ? ? ? ? ?? ?12 10xy C x C e x y x y y?? ?? ? ? ? ? ? ?是 微 分 方 程 的 解12 xy C x C e??又中含有兩個任意常數，而所給方程又是二階的， 12 xy C x C e? ? ? 是 所 給 方 程 的 通 解 .20 1 1 。 求降落傘下落速度與時間的函 數關系 . 解 設 降落傘下落速度為 v(t)時傘所受空氣阻力為 k （ 負號表示阻力與運動方向相反 （ k為常數 ） 傘在下降過程中還受重力 P = mg作用， 由牛頓第二定律得 0 0tdvm m g k v vdt ?? ? ?且于是所給問題歸結為求解初值問題 0 0tdvm m g k vdtv ?? ????? ??d v d tm g k v m??分 離 變 量 得 , d v d tm g k v m????兩 邊 積 分 得11 ln tm g k v Ckm? ? ? ?11,k tkCmmgv C e C ekk? ???? ? ?????整 理 得00,m g m gC e Ckk? ? ?由 初 始 條 件 得 , 即1k tmmgvek????? ????故 所 求 特 解 為 由此可見，隨著 t的增大，速度趨于常數 mg/k，但不會超過 mg/k，這說明跳傘后，開始階段是加速運動，以后逐漸趨于勻 速運動 . 一階線性微分方程 一階線性微分方程 1．定義： 形如 ? ? ? ? ( 1 )dy P x y Q xdx ?? 的方程 ， 稱為一階線性微分方程 ， 其中 P(x)、 Q(x)是已知的連 續函數 , Q(x)稱為自由項 ． 特點： 方程中的未知函數 y及導數 dydx都是一次的． 2． 分類 若 Q(x)= 0, 即 ? ? 0 ( 2 )dy P x ydx ?? 稱為一階線性齊次微分方程 ． 若 Q(x)≠ 0, 則方程 (1)稱為一階線性非齊次微分方程 ． y x y x? ??如 是 非 齊 次 方 程 ，2 01d y x yd x x??? 是 齊 次 方 程 ，s i nx y y x? ?? 是 非 齊 次 方 程 .3．一階線性齊次方程的解法 ? ? 0dy P x ydx ?? 類型： 可分離變量的微分方程 ． ? ?1 d y P x d xy ??分 離 變 量 得? ?l n l ny P x d x C? ? ??兩 邊 積 分 得? ? 3P x d xy C e ? ??即 （ ）其中 C 為任意常數 . 4． 一階線性非齊次方程的解法 用常數變易法． ? ?