【微積分】高階導數(專業版)

　　

【正文】 第四節 高階導數 引例 : 變速直線運動 ),( tss ?)()( tstv ??則瞬時速度為的變化率對時間是速度加速度 tva?.])([)()( ?????? tstvta定義 .)())((,)()(lim))((,)()(0處的二階導數在點為函數則稱存在即處可導在點的導數如果函數xxfxfxxfxxfxfxxfxfx??????????????記作 .)(,),(2222dxxfddxydyxf 或????記作階導數的函數階導數的導數稱為的函數一般地,)(1)(,nxfnxf ?.)(,),( )()( nnnnnndxxfddxydyxf 或三階導數的導數稱為四階導數 , 二階和二階以上的導數統稱為 高階導數 . .)(。)(, 稱為一階導數稱為零階導數相應地 xfxf ?.,),( 33dxydyxf ??????二階導數的導數稱為三階導數 , .,),( 44)4()4(dxydyxf 高階導數求法舉例 例 1 ).0(),0(,a r c t a n yyxy ?????? 求設解 21 1 xy ??? )1 1( 2 ????? xy 22 )1( 2x x???))1( 2( 22 ??????? x xy 322)1()13(2xx???022 )1(2)0(???????xxxy0322)1()13(2)0(???????xxxy。0? .2?? : 由高階導數的定義逐步求高階導數 . 例 2 .),( )( nyRxy 求設 ?? ??解 ,1??? ?? xy )( 1 ???? ??? xy ,)1( 2??? ??? x ,?)1()1()1()( ????? ? nxny nn ???? ?則為自然數若 ,)2( m???????????????mnmnnmnxnmmmxynmnmn,0,!,)1()1()( )()(?則不為自然數若 ,)1( ?11)( !)1()()2)(1()1(,??? ??????nnnnxnxnx ?特別,3 ?xaeay ????求 解 特別有 : ,xaey ? .)(ny,xaeay ?? ,2 xaeay ???xann eay ?)(xnx ee ?)()(例 3. 設 對于 n次多項式 nn any !)( ?有 )0(ln)( )( ??? aaaa nxnx一般有 : 例 4 .),1ln( )( nyxy 求設 ??解 注意 : ,1 1 xy ??? ,)1(12xy ?????,)1( 21)1( 32 xy ??????? ,?)1!0,1()1( )!1()1( 1)( ?????? ? nxny nnn 求 n階導數時 ,求出 13或 4階后 ,不要急于合并 ,分析結果的規律性 ,寫出 n階導數 .(數學歸納法證明 ) 思考 : ),1l n ( xy ??例 5 .,s i