構造法與放縮法在不等式證明中的運用(專業版)

　　

【正文】 121111)+(b+)2179。N)是否合理。本文以通過對幾道實例的分析，就證明不等式的過程中如何進行“放”或“縮”作些淺談。由例例2也可知運用放縮法前先要觀察目標式子的符號。【重點、難點】重點：放縮法證明不等式。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結構，便于進行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。(0,+165。230。(1,+165。2n1n12012xnx12x21++L+179。232。即(++L+)n179。235。f(0)=0，由nm0有(1+n)0，m(1+m)n0，要證(1+n)(1+m)，只需ln(1+n)ln(1+m)，即只需證 mnmn只需mln(1+n)nln(1+m)，ln(1+n)ln(1+m)ln(1+x),(x0) 于是設g(x)=xnm1xx1ln(x+1)ln(x+1)xx+1lnx+1()()g39。179。+++L+247。)，exxex由于曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行，所以f39。)。(x)0，h(x)單調遞增，2當e2x+165。：執果索因。當然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節省時間，這一點在考試時間有限時顯得很重要。N+)2222123nloga(a+1)1(3)已知x＞0, y0，z0求證x+y+z（4）已知n206。例5：設a、b、c206。以上兩個例中的“放”或“縮”的方式都是通過對待證不等式的結構特征進行分析才獲得的“放”或“縮”的方法。?????① ab2解說：如果直接運用二元均值不等式縮小，即采用縮小方式a+11179。2(1+215925159)=2(1+)=a+b222242對非嚴格不等式的證明，每一次的“放”或“縮”保證等號成立是一個基本的思考點，是放大或縮小的一個必要性要求，但它并不具有充分性。+例4： 設a、b206。注意到①式右端需要2n+1，因此，對左端每一個因數縮小后應含有2k1，據此便不難找到可行的縮小方式：2k2k2k2k2k+12k+1，==2k12k12k12k12k2k1于是左22+123+12(n1)+12n+12n+12n+1。33a+b23a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a)≥(3a)2(a)。N,k1)1111，22kkk(k1)k(k+1)，③利用平均值不等式，④利用函數單調性放縮。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學生數學基礎知識的掌握程度，而且是衡量學生數學水平的一個重要標志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。232。)時，f39。x=，得，x206。1246。x+++L+231。所以f(x)的單調增區間為(1,0)；f(x)的單調減區間為(0,+165。xxx246。123n248。lnx+k例2：(2012山東)（本小題滿分13分）已知函數f(x)=(k為常數，e=…是ex自然對數的底數)，曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行。)，令h(x)=1xxlnx，x206。(x)=1231。(x)0，j(x)單調遞增，j(x)j(0)=e(0+1)=0，ex1 故當x206。相反，將A適當縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。【學法指導】，自學課本內容，限時獨立完成導學案；，提交小組討論；—p19,【自主探究】1，放縮法：證明命題時，有時可以通過縮小（或）分式的分母（或），或通過放大（或縮小）被減式（或）來證明不等式，這種證明不等式的方法稱為放縮法。R+且abc=1求證111≤1 =+1+a+b1+b+c1+c+a證明：設a=x3,b=y3,c= x、y、z206。m+am+bm+c解說：依題設知a+bc，因此證明的第一個目標就是考慮將待證不等式的左端適當ababa+b++=???① m+am+bm+a+bm+a+bm+a+b由于①式的分子、分母中都含有a+b，不便于利用條件a+bc，據此可考慮處理掉分子a+b(m+a+b)mm==1的a+b：????② m+a+bm+a+bm+a+b在利用條件a+bc和不等式的