微分方程及其應用ppt課件(留存版)

　　

【正文】 ? ? 1dy P x y Q xdx ??設 （ ） 在方程 （ 1） 所對應的齊次方程的通解的基礎上進行變易 , 假設方程（ 1）有如下形式的解： ? ? ? ?P x d xy C x e ???其中 C（ x）為待定函數． ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 P x d x P x d xC x e P x C x e Q x?? ?? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ?代 入 方 程 （ ） 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?P x d x P x d x P x d xC x C x e C x e P x P x C x e Q x? ? ???? ? ?? ? ? ? ????? ????? ? ? ? ? ?P x d xC x Q x e ?? ?即? ? ? ? ? ?P x d xC x Q x e C?? ? ??于是方程 (1)的通解為： ? ? ? ? ? ? 4P x d x P x d xy e Q x e d x C? ??????????? （ ）（ 4） 式稱為一階線性非齊次方程 （ 1） 的通解公式 ． 上述求解方法稱為常數變易法 ． 用常數變易法求一階線性非齊次方程的通解的一般步驟為： (1)先求出非齊次線性方程所對應的齊次方程的通解； (2)根據所求出的齊次方程的通解設出非齊次線性方程的解將所求 出的齊次方程的通解中的任意常數 C改為待定函數 C(x)即可； (3)將所設解帶入非齊次線性方程，解出 C(x)，并寫出非齊次線性 方程的通解． ln1 y x xyx?? ?例 求 方 程 的 通 解 .1 lny y xx? ??解 原 方 程 可 變 形 為① ① 式對應的齊次方程為 10yyx???② 將方程②分離變量得 dy dxyx?兩邊積分得 ln ln lny x C??即 ln lny C x?所以齊次方程②的通解為： y Cx? ③ 將上述通解中的任意常數 C換成待定函數 C(x)，將其待入方程①得 ? ? ? ? lnln xx C x x C x x????， 則 ，? ? ? ? ? ? 2l n 1l n l n l n2xC x d x x d x x Cx? ? ? ? ???將 C(x)代入式③ 得原方程的通解： ? ? 2ln2xy x C x??? ? 322 1 .1y y xx? ? ? ??例 求 方 程 的 通 解? ? ? ? ? ? 32 11P x Q x xx? ? ? ??解 ，? ?22 311 1dx dxxxy e x e dx C???????? ? ??????由 公 式 可 得? ? ? ? ? ?23 2111 1x x d x Cx??? ? ? ??? ????? ? ? ?221112x x C??? ? ? ????? ? ? ? ?421 112 x C x??? ? ? ?????例 3 在串聯電路中 ， 設有電阻 R， 電感 L和交流電動勢 E = E0sinωt， 在時刻 t = 0時接通電路 ， 求電流 i與時間 t的關系 （ E0,ω為常 數 ） ． 解 設任一時刻 t的電流為 i． 我們知道，電流在電阻 R上產生一個電壓降 uR = Ri， LdiuLdt?由回路電壓定律知道 ， 閉合電路中電動勢等于電壓降之和 ， 即 在電感 L上產生的電壓降是 RLu u E??0 s i ndiR i L E w tdt??亦 即0 s i nEd i R i w td t L L??整 理 為① ? ? ? ? 0 s i nERP t Q t w tLL??，式①為一階非齊次線性方程的標準形式，其中 利用一階非齊次線性方程之求解公式得通解： ? ?? ?0002 2 2s ins ins in c o sRRd t tLLRRttLLRtLEi t e e w td t CLEe e w td t CLEC e R w t w L w tR w L? ???????????????????? ? ????02 2 20 0tw L EiCR w L? ?? ?由 初 始 條 件 得 ， ，? ? 02 2 2 si n c osR tLEi t w L e R w t w L w tR w L???? ? ???? ??于 是? ? ? ?1. ny f x? 型 可降階的高階微分方程 特點：方程 y(n) = f(x)的右端僅含有自變量 ． 解法：將兩端分別積分一次，得到一個 n1階微分方程 。 第三步 根據特征根的不同情況 ， 寫出微分方程的通解 ． 具體如下： 21, rr21 rr ?xrxr eCeCy 21 21 ??rrr ?? 21 ? ? rxexCCy 21 ???? ir ??2,1 通解形式 ? ?xCxCey x ??? s i nco s 21 ??特征方程的根 1 2 0 .y y y?? ?? ? ?例 求 微 分 方 程 的 通 解解 特征方程為 2 20rr? ? ?特征根 121 , 2rr? ? ?因此，方程的通解為 212 .xxy C e C e???2 4 0 .y y y?? ?? ? ?例 求 微 分 方 程 的 通 解解 特征方程為 24 4 1 0rr? ? ?特征根 1212rr? ? ?因此，方程的通解為 ? ? 1212xy C C x e ???3 4 8 0y y y?? ?? ? ?例 求 微 分 方 程 的 通 解 .解 特征方程為 2 4 8 0rr? ? ?特征根為 122 2 2 2r i r i? ? ? ?于是方程的通解為 212c o s 2 s i n 2xy e C x C x?? 004 12 9 0 1 , 1xxy y y y y???? ? ?? ? ? ? ?例 求 方 程 滿 足 初 始 條 件的 特 解 .解 特征方程為 24 1 2 9 0rr? ? ?特征根 1232rr??因此方程的通解為 ? ? 3212xy C C x e??0 1xy ? ? 1由 條 件 得 ,C =1,0 1,xy ?? ? 21由 條 件 得 , C = 2故所求特解為 3211.2xy x e????????三、二階常系數非齊次線性微分方程的求解方法 ? ? ( 1 )y p y q y f x?? ?? ? ?設其中 p,q為常數， f(x)≠0 它對應的齊次方程為： 0 ( 2 )y p y q y?? ?? ? ?? ? ? ?1. xmf x P x e ?? 型? ? ( 5 )xmy p y q y P x e ??? ?? ? ?其中 λ 為常數， Pm(x)為 x的 m次多項式，即 ? ? 110mmm m mP x a x a x a??? ? ? ?設想方程 (5)有形如 ? ? ,xpy Q x e ?? 的 解其中 Q(x)是一 個待定多項式． ? ? xpy Q x e ??將 代入方程 (5)，整理后得到： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 mQ x p Q x p q Q x p x? ? ??? ?? ?