導數在初等數學中的應用畢業論文(留存版)

　　

【正文】 而導數是求最值的有力工具,因此,然后將其轉化為數學問題,再用導數求解這個數學問題。 例14 求。 變式引申①若方程f(x)=0有且僅有兩個實根,求a的取值范圍y=f(x)草圖如下: y y1 2 x 1 2 x要使f(x)=0有且僅有兩個實根,必須且只需f(x)取得極大值 f(1)=0或f(x)取得極小值 f(2)=0 解得a=2， 變式引申②要使f(x)=0有且僅有三個實根, 求a的取值范圍 y=f(x)草圖如下 y 0 1 2 x要使f(x)=0有且僅有三個實根,必須且只需解得2從上題的解答我們可看出:用導數來探討y= f(x)圖像與x軸的交點問題,有以下幾個步驟:構造函數y= f(x)。 例6 求函數在上的最大值和最小值。高中數學新課程打破先講極限后講導數的順序，直接通過實際背景和具體應用實例，即通過與社會生活聯系緊密的速度、膨脹率、增長率等變化率引入導數，旨在用導數反映的變化率研究初等函數的性質。 導數在求函數的極值中的作用 ，它只能在區間的端點或區間內的極值點取得。⑵若方程f(x)=0有且僅有一個實根,求a的取值范圍。 注:利用最值證明不等式，如果函數在上不是單調函數，要證在上有成立，不妨證明在上的最小值；要證在上有成立，不妨證明在上的最大值。A. B. C. D. 分析：此題沒有直接告訴的解析式，僅告訴我們一個有關的關系式．要求其在處的切線方程，顯然要先求在的斜率。　 例22 已知函數導函數為。而運用導數知識，求三次目標函數的最值就變得非常簡單，對于實際生活中的優化問題，如果其目標函數為高次多項式函數，簡單的分式函數，簡單的無理函數，簡單的指數，對數函數，或它們的復合函數，均可用導數法求其最值. 可見，導數的引入，大大拓寬了中學數學知識在實際優化問題中的應用空間。例如在（1）中令，可得到， 而此前我們只能用“錯位相減法”解決。又構造函數，則，得知在上單調遞增，又因為，所以，即成立。 3 研究導數在判別方程根中的應用利用導數研究方程根的問題，不但使解題過程變得簡捷，而且還可以提高同學們對新題型的適應能力。 例2 求函數的單調區間? 解：， 當時，故函數在內單調遞減， 當時，故函數在骨單調遞增， 即函數的單減區間為，單調遞增區間為，由以上兩例可以看出，利用求導法可以使解題過程更簡單。2 研究導數在函數中的應用 導數在研究函數的單調性中的作用過去研究函數的單調性時，一般是根據增函數、減函數的定義來研究，即所謂的“定義法”，學習了導數以后就可以利用函數的一階導數的符號來研究函數的單調性，即“求導法”.求導法還可以比較簡單地確定函數的單調區間。 例7 求函數的值域。解不等式或方程,得解。事實上數列可看作是自變量為正整數的特殊的函數，所以可以利用數列和函數的關系，運用導數來解決數列的有關問題。（），則 ，圖象固然直觀，但并不是任何一個函數我們都能熟知它的圖象，下面判斷更，偶次根是不會引起導數的符號，函數的導數＝，的根為－１，１，顯然二重根１不是極值點，三重根－１是極植點，故的偶次根不是極值點，此方法簡單易行。（1）如果函數在處有極值，試確定的值；（2）求曲線上斜率為的切線與該曲線的公共點；分析：此題是一種引入新運算的題目，根據運算規律不難得出的解析式．求斜率為的切線與該曲線的的公共點，實際上是要首先求出曲線上切線斜率為的切線方程，然后再求切線方程與曲線的交點。 證明:令時，