數學分析第四章函數的連續性(留存版)

　　

【正文】 右側作微小改變時，對應的函數值也只作微小的改變；這就是說，當自變量靠近時，函數值就靠近，而當時。而在點連續則要求在某內有定義（包括）。注　這個定義不好；還不如說：設在內不定義，如果在不連續，則稱是的不連續點（或間斷點）。教學要求：（１）掌握連續的局部性質（有界性、保號性），連續函數的有理運算性質，并能加以證明；熟知復合函數的連續和反函數的連續性。（２）.性質５（反函數的連續性）若函數在上嚴格單調并連續，則反函數在其定義域或上連續。一般而言， 在其定義域上不一定有最大（?。┲担词乖冢纳嫌薪?。我們先敘述何謂一致連續。（２） 關系若在Ｉ上一致連續，則在Ｉ上連續；反之不成立（即若在Ｉ上連續，不一定在Ｉ上一致連續。教學難點：初等函數連續性命題的證明。的取值只與有關，而與無關，或者說，存在適合于Ｉ上所有點的公共的，記作，它對任意的都適用。例６．證明：若，為正整數，則存在唯一正數，使得。２給出。）例１． 求.2) 若復合函數的內函數當時極限為a，又外函數在連續，上面的等式仍成立。３） 第二類間斷點　函數的所有其它形式的間斷點（即使稱函數至少有一側極限不存在的點）稱為函數的第二類間斷點。２．例子（１）函數是Ｒ上的連續函數；（２）函數在內每一點都連續。３） 等價定義２：函數在點連續，當時。例如，可以舉出這樣的例子，它在(0,1)內的任意無理數點都連續但卻無法用圖形表示出來（如Rieman函數）。 例3 設 試證明：方程 在區間 內有實根. 二. 4. 1. 跳躍間斷點和可去間斷點統稱為第一類間斷點, 其他情況 即 或 中至少有一個不存在 稱為第二類間斷點.例4《數學分析》教案第四章 函數的連續性 教學目的：；；，并能加以證明；，并能清楚地認識到函數在一區間上連續與這一區間上一致連續的聯系與區別。 討論函數 的間斷點類型.例5局部保號性： 連續定義中 對 的依賴性 ： 例6一致連續的判定: 例4 設函數 在 內連續且 則 在 內有最小值. 與 比較. 因此，為了給出“連續”的定義，需要對此作進一步分析和研究。注：一個定義是等價的，根據具體的問題選用不同的表述方式。在處為左連續，在處為右連續，因而它在上連續。例如，是函數，的第二類間斷點。（因此時若的話是顯然的；若，或在無定義，即是的可去間斷點時，只需對性質４的證明做修改：“”為“”即可）。先給出下面的關于“最大大值”的定義：定義１　設為定義在數集Ｄ上的函數，若存在，使得對一切都有（），則稱在Ｄ上有最大（小）值，并稱為在Ｄ上的最大（小）值。例７．設在上連續，滿足。性 質與區間中每一點及其附近的情形有關，即只要在區間中每一點，連續就行。教學方法：學導式教學。要知在整個區間的情形，在整個區間內來找適合定義中的，這種性質稱為整體性質。四　一致連續性l 引言在連續函數的討論和應用中，有一個極為重要的概念，叫做一致連續。、。例２ 求極限（１）。２　　連續函數的性質教學目的：熟悉連續函數的性質并能靈活應用。函數，在上是分段連續的在Ｒ上是分段連續嗎？　在Ｒ上是分段連續嗎？三　間斷點及其分類１．不連續點（間斷點）定義　　定義３　設函數在某內有定義，若在點無定義，或在點有定義而不２，不則稱點為函數的間斷點或不連續點。４．函數在點有極限與函數在點連續之間的關系１） 從對鄰域的要求看：在討論極限時，假定在內不定義（在點可以沒有定義）。而在其它點處（如處），情況則完全相反。 例6 設函數 和 在區間I上一致連續. 證明函數 在區間 I上一致連續. 例7 設函數 在有限開區間 內連續. 則 在有限開區間 內一致連續, 和 存在( 有限 ). 例2 例3 作倒代換 例4 解 I = 例5 解 I