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創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目--矩陣半群上自同構(gòu)分解問題的研究-文庫吧

2026-07-07 19:03 本頁面

【正文】影響。討論矩陣半群上的自同構(gòu)是典型群自同構(gòu)問題的推廣問題之一。自同構(gòu)推廣問題的研究不僅為構(gòu)造代數(shù)群提供了有效途徑，而且在計(jì)算機(jī)圖象處理、密碼學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。本項(xiàng)目的指導(dǎo)教師在相關(guān)的問題中已經(jīng)得到了一些成果，使得該項(xiàng)目具有一定的技術(shù)優(yōu)勢。并且，本項(xiàng)目在理論研究方面具有較大的新穎性，相對來說風(fēng)險(xiǎn)較小。基于團(tuán)隊(duì)成員對矩陣計(jì)算、群、半群這些知識(shí)熟練掌握的基礎(chǔ)上，我們打算討論矩陣半群上的自同構(gòu)分解問題。即決定一些矩陣半群的自同構(gòu)，給出它們的明確表達(dá)式。項(xiàng)目特色與創(chuàng)新點(diǎn)：本項(xiàng)目討論的是矩陣半群上的自同構(gòu)分解問題，主要涉及《高等代數(shù)》和《近世代數(shù)》的內(nèi)容。本項(xiàng)目的實(shí)施將使得團(tuán)隊(duì)成員把所學(xué)內(nèi)容應(yīng)用到科學(xué)研究上，既加深了對知識(shí)的理解，又提高了科研興趣。本項(xiàng)目力求將矩陣論與半群理論相結(jié)合，用矩陣上的計(jì)算技巧來解決抽象的代數(shù)系統(tǒng)上的問題。這是把抽象問題具體化的一個(gè)體現(xiàn)。對項(xiàng)目成員的要求：本項(xiàng)目是對一些矩陣半群上的自同構(gòu)進(jìn)行研究，給出自同構(gòu)的具體表達(dá)式。這是數(shù)學(xué)上的理論研究。要求各成員在熟練掌握《高等代數(shù)》和《近世代數(shù)》這些課程內(nèi)容的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)并進(jìn)行科學(xué)研究。各成員要對科研具有濃厚的興趣，要具有團(tuán)隊(duì)合作的精神。在解決問題的過程中，要具有創(chuàng)新思維。二、立項(xiàng)依據(jù)（包括項(xiàng)目的研究意義、現(xiàn)狀分析，并附主要參考文獻(xiàn)及出處）上世紀(jì)4060年代，確定域上典型群的自同構(gòu)是群論研究中的一個(gè)熱點(diǎn)。我國數(shù)學(xué)家華羅庚、萬哲先等人利用矩陣技巧解決了許多關(guān)于典型群自同構(gòu)的重要問題，形成典型群研究中的中國學(xué)派，在國際上產(chǎn)生了重要影響。自同構(gòu)推廣問題的研究為構(gòu)造代數(shù)群提供了有效途徑，且在計(jì)算機(jī)圖象處理、密碼學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，因此受到代數(shù)學(xué)界的重視。關(guān)于域上典型群自同構(gòu)問題的推廣，主要形成兩個(gè)方向。一個(gè)方向是把基‘域’推廣到‘環(huán)’，例如，偶世坤等人用化歸的方法，決定了交換環(huán)上辛群的Borel子群的自同構(gòu)。另一方向是把研究對象由矩陣群放寬成矩陣半群、矩陣代數(shù)或矩陣?yán)畲鷶?shù)，研究矩陣半群、矩陣代數(shù)或矩陣?yán)畲鷶?shù)上的自同構(gòu)。例如，於遒等人決定了交換環(huán)上Cm型典型李代數(shù)的Borel子群的自同構(gòu)；偶世坤等人交換環(huán)上Dm型典型李代數(shù)的極大冪零子代數(shù)的自同構(gòu)；曹重光和張顯決定了兩類環(huán)上上三角矩陣乘法半群的自同構(gòu)。近兩年，偶世坤等人研究了交換環(huán)上嚴(yán)格上三角矩陣乘法半群的自同構(gòu)。另外，Bukovek、張顯等人對矩陣半群間同構(gòu)的研究作出了重要的貢獻(xiàn)。主要參考文獻(xiàn)[1] Dieudonne J. On the automorphisms of classical groups, Memoirs Amer. Math. Soc., No. 2, 1951.[2] Hua LuoGeng. On the automorphisms of the symplectic group over any field, Ann. Of Math., 49(1948): 739759. (SCI檢索)[3] Ou ShiKun, Wang DengYin. Automorphi

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