20xx年普通高等學校招生全國統一考試數學湖北卷理含詳解(已修改)

　

【正文】 2020 年普通高等學校招生全國統一考試（湖北卷） 數學 （理工農醫類） 本試卷分第 Ⅰ卷（選擇題）和 第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第 Ⅰ卷 1至 2頁，第 Ⅱ卷 3至 4 頁，共 4 頁。全卷共 150 分。考試用時 120 分鐘。 第Ⅰ卷 （選擇題 共 50 分） 注意事項： 1. 答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題紙上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。 2. 每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，答在試題卷上無效。 3. 考試結束后，監考人員將本試題卷和答 題卡一并收回。 一、選擇題 :本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分散。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1．已知向量 ( 3,1)a? ， b 是不平行于 x 軸的單位向量，且 3ab? ，則 b? ( B ) A．（ 31,22） B．（ 13,22） C．（ 1 3 3,44） D．（ 1, 0 ） ,abc成等差數列， ,cab 成等比數列，且 3 10a b c? ? ? ，則 a? ( D ) A． 4 B． 2 C．－ 2 D．－ 4 ABC? 的內角 A 滿足 2sin2 3A? ，則 sin cosAA?? ( A ) A. 153 B． 153? C． 53 D． 53? 4．設 2( ) lg 2 xfx x?? ? ，則 2( ) ( )2xffx? 的定義域為 ( B ) A． ( 4,0) (0,4)? B． ( 4, 1) (1,4)?? C． ( 2, 1) (1,2)?? D． ( 4, 2) (2, 4)?? 5．在 2431()x x?的展開式中， x 的冪的指數是整數的項共有 ( C ) A． 3 項 B． 4 項 C． 5 項 D． 6 項 6．關于直線 ,mn與平面 ,??，有以下四個命題： ①若 // , //mn??且 //??，則 //mn； ②若 ,mn????且 ??? ，則 mn? ； ③若 , //mn??? 且 //??，則 mn? ； ④若 // ,mn??? 且 ??? ，則 //mn； 其中真命題的序號是 ( D ) A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 7．設過點 ( , )Pxy 的直線分別與 x 軸的正半軸和 y 軸的正半軸交于 ,AB兩 點，點 Q 與點 P關于 y 軸對稱， O 為坐標原點，若 2BP PA? 且 1OQ AB? ，則點 P 的軌跡方程是 ( D ) A． 2233 1 ( 0 , 0 )2x y x y? ? ? ? B． 2233 1 ( 0 , 0 )2x y x y? ? ? ? C． 223 3 1 ( 0 , 0 )2 x y x y? ? ? ? D． 223 3 1 ( 0 , 0 )2 x y x y? ? ? ? 8．有限集合 S 中元素的個數記做 ()cardS ，設 ,AB都為有限集合，給出下列命題： ① AB?? 的充要條件是 ( ) ( ) ( )c a r d A B c a r d A c a r d B??； ② AB? 的充要條件是 ( ) ( )card A card B? ； ③ AB218。 的充要條件是 ( ) ( )card A card B? ； ④ AB? 的充要條件是 ( ) ( )card A card B? ； 其中真命題的序號是 ( B ) A．③④ B．①② C．①④ D．②③ 9．已知平面區域 D 由以 (1, 3), (5, 2 ), (3,1)A B C為頂點的三角形內部＆邊界組成。若在區域D 上有無窮多個點 (, )xy 可使目標函數 |z x my? 取得最小值，則 m? (C ) A．－ 2 B．－ 1 C． 1 D． 4 10．關于 x 的方程 2 2 2( 1) 1 0x x k? ? ? ? ?，給出下列四個命題： ( A ) ①存在實數 k ，使得方程恰有 2 個不同的實根； ②存在實數 k ，使得方程恰有 4 個不同的實根； ③存在實數 k ，使得方程恰有 5 個不同的實根； ④存在實數 k ，使得方程恰有 8 個不同的實根； 其中 假 ． 命題的個數是 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 第Ⅱ卷 （非選擇題 共 100 分） 注意事項： 第Ⅱ卷用 。答在試題卷上無效。 二、填空題：本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分，把答案填在答題卡相應位置上。 11．設 ,xy為實數，且 51 1 2 1 3xyi i i??? ? ?，則 xy?? 4 。 12．接種某疫苗后，出現發熱反應的概率為 0． 80，現有 5 人接種了該疫苗，至少有 3人出現發熱反應的概率為 。（精確到 0． 01） 13．已知直線 5 12 0x y a? ? ? 與圓 2220x x y? ? ? 相切，則 a 的值為 － 18 或 8 。 14．某工程隊有 6 項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后才能進行，有工程丁必須在工程丙完成后立即進行。那么安排這 6項工程的不同排法種數是 20 。（用 數字作答） 15．將楊輝三角中的每一個數 rnC 都換成 1( 1) rnnC?，就得到一個如右圖所示的分數三角形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出11 1 1( 1 ) ( 1 )r x rn n nn C n C n C ?????，其中 x? r＋ 1 。令3311 1 1 1 1 13 1 2 3 0 6 0 ( 1 )n nna n C n C?? ? ? ? ? ? ? ?，則 limnn a?? ? 。 21 三、解答題：本大題共 6 小題，共 75 分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 16．（本小題滿分 12 分） 設函數 ( ) ( )f x a b c??， 其中 向 量 (sin , cos )a x x??， (sin , 3 cos )b x x??，( cos ,sin )c x x?? ， xR? 。 （Ⅰ）、求函數 ()fx的最大值 和最小正周期； （Ⅱ）、將函數 ()fx的圖像按向量 d 平移，使平移后得到的圖像關于坐標原點成中心對稱，求長度最小的 d 。 點評：本小題主要考查平面向量數量積的計算方法、三角公式、三角函數的性質及圖像的基本知識，考查推理和運算能力。 解： (Ⅰ )由題意得， f(x)＝ a(b+c)=(sinx,－ cosx)(sinx－ cosx,sinx－ 3cosx) ＝ sin2x－ 2sinxcosx+3cos2x＝ 2+cos2x－ sin2x＝ 2+ 2 sin(2x+ 43? ). 所以， f(x)的最大值為 2+ 2 ， 最小正周期是 22? ＝ ? . （Ⅱ）由 sin(2x+ 43? )＝ 0 得 2x+ 43? ＝ k.? ，即 x＝ 832 ???k ,k∈ Z， 于是 d＝（ 832 ???k ，－ 2）， ,4)832( 2 ??? ??kdk∈ Z. 因為 k 為整數，要使 d 最小，則只有 k＝ 1，此時 d＝（― 8? ，― 2）即為所求 . 17．（本小題滿分 13 分） 已知二次函數 ()y f x? 的圖像經過坐標原點，其導函數為 39。( ) 6 2f x x??，數列 {}na 的前 n 項和為 nS ，點 ( , )( )nn S n N?? 均在函數 ()y f x? 的圖像上。 （Ⅰ）、求數列 {}na 的通項公式； （Ⅱ）、設13?? nnn aab， nT 是數列 {}nb 的前 n 項和，求使得 20n mT?對所有 nN?? 都成立的最小正整數 m； 點評：本小題考查二次函數、等差數列、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題的能力和推理能力。 解：（Ⅰ）設這二次函數 f(x)＝ ax2+bx (a≠ 0) ,則 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x－ 2,得 a=3 , b=－ 2, 所以 f(x)＝ 3x2－ 2x. 又因為點 ( , )( )nn S n N?? 均在函數 ()y f x? 的圖像上，所以 nS ＝ 3n2－ 2n. 當 n≥ 2 時 ， an＝ Sn－ Sn－ 1＝（ 3n2－ 2n）－ ? ?)1(2)13 2 ??? nn（ ＝ 6n