模糊拓撲學_碩士學位論文(已修改)

　

【正文】 大學碩士學位論文目 錄前 言 1第一章 預備知識 2第二章 相對子基的內部算子和閉包算子及其應用 3 由子基生成的內部算子和閉包算子 3 相對開集和相對閉集 4 分子網及其收斂理論 6 相對子基的連續序同態 8 連通性 10 分離性 12 緊 14第三章 模 糊 緊 16 閉集在強模糊緊性方面的應用 16 —緊 22 層次不等式緊 25 關于幾乎良緊性的注記 29參考文獻 31致 謝 33攻讀學位期間發表的學術論文 3432前 言[1]為骨架提出模糊拓撲空間（簡稱F拓撲空間）的概念[2]以來,正因如此,分明拓撲學中的幾乎全部結果都可以推廣到模糊拓撲學中來,如開集、閉集、鄰域、F連續映射及其特征刻畫定理,覆蓋性質和緊性及其在連續映射下的不變性[3],但作為建立完整的模糊拓撲學理論的總進程來看,像在分明拓撲學中那樣[4],若中正則開集的原象是中的開集,則稱是幾乎連續的.[4][5]引入了所謂幾乎緊性,F拓撲空間叫幾乎緊的,若的每個開覆蓋都有有限子族,其中各開集的閉包覆蓋(在分明拓撲學中,若是拓撲空間,則此定義刻畫的是絕對閉性).其它比如Borel集、半開集、絕對閉性、[6]與[7]鑒于Pawlak粗糙集模型和覆蓋廣義粗糙集模型中的下近似集和上近似集分別對應于某一拓撲空間的子集的內部和閉包,定義了分明拓撲空間中的子集關于子基的內部和閉包,（簡稱空間）,并引入了相應的附著點、聚點等概念,同時討論了網的收斂,刻畫了空間中的連續序同態、連通性、分離性以及緊性.然而,更吸引人的似乎是那些能充分體現出模糊拓撲學特點的工作,文[8]通過模糊集的邊界特征來刻畫緊性,文[9],像Gantner、Steinlage與Warren在－拓撲空間中引入的緊性[10],Lowen在[0,1]－拓撲空間中引入的模糊緊、強模糊緊以及超模糊緊等都是從層次結構入手來研究模糊緊性的[11].本文第三章給出了兩種層次緊性,一種是以文[25]給出的不等式緊為定義的緊,一種是利用文[14][12]引入的閉集（看似閉集,但不是閉集,只是在某一層上像閉集,而有些情況下確實又能代替閉集）,給出了關于強模糊緊性的一些新特征,最后證明了文[35]給出的幾乎良緊集和近良緊集是等價的.第一章 預備知識本文中,總表示一個完全分配的de Morgan 代數,表示上的所有模糊集的集合, 、,如果時,有或。中的元素被稱為余素元（或分子）,表示中所有余素元的集合,表示中所有非零余素元的集合.[13] 設是空間,如果中每個高為的分子（即）,有使,則稱為的遠域族,使,則稱為的.[13]設是空間,且,如果,有使,則稱為覆蓋. 如果存在,使U為覆蓋,則稱U為覆蓋.[13]設是分明拓撲空間,是格,是的子集,則當且僅當,這里是的特征函數.[13]設和是中的兩個分子網,如果存在映射使得（i）。（ii）,當時,則稱為的子網.[13]設是網,是針對于中的點而言的某個性質,（i）如果存在使得當時,具有性質,則稱網最終具有性質.（ii）如果對于任意存在,當時,具有性質,則稱網經常具有性質.對,我們采用如下記號： ,.第二章 相對子基的內部算子和閉包算子及其應用1968年,[1]為骨架,引入了模糊拓撲空間的概念,并把諸如開集、閉集、鄰域、內部、閉包、[6]的理論體系為框架,引入了空間中的集合關于子基的內部和閉包,以及由它們導出的關于子基的開集、閉集、聚點,詳細研究了它們的性質,并利用它們刻畫了L空間中的連續序同態、網的收斂、連通性、分離性和緊性.若沒有特別說明,本章中的即指子基. 由子基生成的內部算子和閉包算子, , 是的子基,是序同態,稱為關于子基的相對內部,稱為關于子基的相對閉包. 設是空間,(是實數集),是有理數集的特征函數,是中的常值模糊集,是的子基,則當時, , .當時,,,. 設,不可比較大小,顯然是 的子基,則,. 設為空間,則下列命題成立：（1）當是的基時,；（2）是中的開集,且 ；（3）是中的閉集,且 ；（4）,；（5）；（6）；（7）若,則；（8）若,則；（9）若可以表示成中若干個元之并,則；（10）,.證 僅證（5）.由的定義,==注：與（5）相反的不等式在一般拓撲空間中不成立[6],故在模糊拓撲空間中也不成立,中的等號不成立.？什么情況下關于同一子基的內部算子或閉包算子能誘導一個拓撲？誘導的拓撲和原拓撲什么關系？這都是還有待于進一步研究的問題. 相對開集和相對閉集本節利用由子基生成的內部算子和閉包算子定義了相對開集和相對閉集,并引入了附著點和聚點的概念. 設為空間,若,則稱為關于子基的相對開集,簡稱開集。若,則稱為關于子基的相對閉集,所有閉集的集合記為,顯然,.由相對開集和相對閉集的定義易得下述命題. . 設為空間,則（1）；（2）任意多個開集的并仍是開集.證 （1）（4）易得.（2）設A是一族開集,（8）知,故,注意到,故,又顯然有,所以,得證. 設為空間,若,則稱為分子的閉遠域,所有閉遠域的集合記為。若對任意,存在且,則稱為分子的遠域,所有遠域的集合記為.易證. 設,稱是的偽鄰域,.由以上兩個定義易得如下命題. . 設為空間,稱是的附著點,若,. 設為空間,則（1）；（2）.證 （1）充分性 假設,則由是閉集知是的閉遠域,注意到,故.必要性 設,則存在使得,從而存在且,進而,又,故.（2）由任一模糊集均可表示成其中若干分子的并及（1）得 稱為的聚點,若（i）且為的附著點；（ii）或且及中每個包含的分子都有.,的一切聚點之并叫做的導集,記作. .證明完全類似[13],故省略. 設為空間,是中的網,（1）稱是網的聚點,如果,經常在中,記為；（2）稱是網的極限點,如果,最終在中,記為.的一切極限點之并記作,的一切聚點之并記作. 設是空間,是中的分子網,則