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小波分析的基本理論(已修改)

2026-05-21 03:57 本頁面

　

【正文】小波分析的基本理論及其應(yīng)用劉九芬前言 ? 小波分析就是對小波基的存在性、構(gòu)造與性質(zhì)的研究。 ? 稱為小波（描述性語言）： “ 小 ” 指支撐集比較 “ 小 ” ； “ 波 ” 指波動性（正負(fù)相間） ? 小波分析及其應(yīng)用是一門新學(xué)科。它是 Fourier分析與信號處理理論發(fā)展到一定階段的產(chǎn)物。 ?}0)(|{s up ?? xxp ??? ?R dxx 0)(?? 小波分析的誕生雖與本世紀(jì)前半葉的某些數(shù)學(xué)發(fā)展，例如 Haar分析與 (1938)Littlewood Paley分析有關(guān) ，但直接地，卻只能追溯到七十年代，那個時代， A. Calder243。n(1975)表示定理的發(fā)現(xiàn)與對 Hardy空間的原子分解與無條件基的大量研究為小波分析的誕生作了理論上的準(zhǔn)備。 ? 1982年， J. Str246。mberg首先構(gòu)造出指數(shù)衰減并且屬于 Ck（ k任意有限）的小波函數(shù) （由它構(gòu)造出的小波基被稱為歷史上第一個小波基），但它并沒有引起當(dāng)時人們的注意。 ? 八十年代初許多搞信號分析的工程師們也為小波分析的誕生做出了積極的貢獻(xiàn)。例如： J. Morlet(1984)在處理地震信號時就使用了小波變換。在影像地震學(xué)中，Morlet知道：在探測高頻時假如送到地下的可調(diào)脈沖波持續(xù)時間太長，便不能用來分辨密聚的地層結(jié)構(gòu)。因此， Morlet認(rèn)為不能始終發(fā)射相同波長的波，在探測高頻時應(yīng)發(fā)送更短的波，這種由單個函數(shù)的伸縮得到的波叫小波，最早使用了小波這一名稱。 ? 1986年 Y. Meyer偶然地構(gòu)造出了第一個具有無限光滑性并且頻譜有限的現(xiàn)在稱之為 Meyer基的真正的小波基，以及隨后不久 S. Mallat與 Y. Meyer建立了構(gòu)造小波基的通用方法多尺度分析以后，小波分析才形成為一門科學(xué)。 ? 小波分析的出現(xiàn)不僅為分析數(shù)學(xué)的研究提供了有力工具，而且為信號分析與處理理論的發(fā)展樹立了一塊新的里程碑。它涉及面之寬廣，影響之深遠(yuǎn) ，發(fā)展之迅速都是空前的。小波分析不僅已經(jīng)應(yīng)用到圖象紋理分析、圖象編碼、計算機視覺、語音識別、語音合成、語音編碼等與信號處理有關(guān)的大部分工程領(lǐng)域，而且在調(diào)和分析、微分方程數(shù)值解、隨機過程、量子場論等理論學(xué)科也得到了廣泛應(yīng)用，其影響正迅速地向其他學(xué)科漫延。 Fourier 分析 ? Fourier分析包括 Fourier變換和 Fourier級數(shù)，是以純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)分析為基礎(chǔ)建立的學(xué)科。該分析方法在科學(xué)與技術(shù)的所有領(lǐng)域中不僅是十分重要的學(xué)科，而且 Fourier變換和 Fourier級數(shù)還具有重要的物理解釋。另外， Fourier級數(shù)的計算方面也是特別有吸引力的，主要是因為級數(shù)的正交性和只用兩個函數(shù)： sinx與 cosx的簡單表示性。 ? 經(jīng)典的 Fourier分析指出，周期平方可積函數(shù)可以表示成 Fourier級數(shù) 。 ? (1) ? 其中 { }被稱為的 Fourier系數(shù) ，可如下求得： (2) ? 類似地，認(rèn)為將函數(shù)的周期擴展到無窮大，對其 Fourier變換為：

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