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坐標系與參數方程[知識點選題](已修改)

2026-06-26 06:56 本頁面

　

【正文】 .. . . ..第一節　坐標系1．平面直角坐標系中的坐標伸縮變換設點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換φ：的作用下，點P(x，y)對應到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換．2．極坐標系與點的極坐標(1)極坐標系：如圖1所示，在平面內取一個定點O(極點)，自極點O引一條射線Ox(極軸)；再選定一個長度單位，一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系．圖1(2)極坐標：平面上任一點M的位置可以由線段OM的長度ρ和從Ox到OM的角度θ來刻畫，這兩個數組成的有序數對(ρ，θ)稱為點M的極坐標．其中ρ稱為點M的極徑，θ稱為點M的極角．3．極坐標與直角坐標的互化點M直角坐標(x，y)極坐標(ρ，θ)互化公式ρ2＝x2＋y2tan θ＝(x≠0)曲線圖形極坐標方程圓心在極點，半徑為r的圓ρ＝r(0≤θ＜2π)圓心為(r,0)，半徑為r的圓ρ＝2rcos_θ圓心為，半徑為r的圓ρ＝2rsin_θ(0≤0＜π)(1)直線l過極點，且極軸到此直線的角為α，則直線l的極坐標方程是θ＝α(ρ∈R)．(2)直線l過點M(a,0)且垂直于極軸，則直線l的極坐標方程為ρcos θ＝a.(3)直線過M且平行于極軸，則直線l的極坐標方程為ρsin_θ＝b(0＜θ＜π)．第二節　參數方程1．曲線的參數方程一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數t的函數并且對于t的每一個允許值，由這個方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么這個方程組就叫做這條曲線的參數方程，聯系變數x，y的變數t叫做參變數，簡稱參數．2．參數方程與普通方程的互化通過消去參數從參數方程得到普通方程，如果知道變數x，y中的一個與參數t的關系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個變數與參數的關系y＝g(t)，那么就是曲線的參數方程．在參數方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致．3．常見曲線的參數方程和普通方程點的軌跡普通方程參數方程直線y－y0＝tan α(x－x0)(t為參數)圓x2＋y2＝r2(θ為參數)橢圓＋＝1(ab0)(φ為參數)溫馨提示：在直線的參數方程中，參數t的系數的平方和為1時，t才有幾何意義且幾何意義為：|t|是直線上任一點M(x，y)到M0(x0，y0)的距離．重點1 坐標系與參數方程1．極坐標和直角坐標互化的前提條件是：（1）極點與直角坐標系的原點重合；[來源:Z+xx+]（2）極軸與直角坐標系的軸正半軸重合；（3）兩種坐標系取相同的長度單位．設點的直角坐標為，它的極坐標為，則互化公式是或；若把直角坐標化為極坐標，求極角時，應注意判斷點所在的象限（即角的終邊的位置），以便正確地求出角，在轉化過程中注意不要漏解，特別是在填空題和解答題中，則更要謹防漏解．2．消去參數是參數方程化為普通方程的根本途徑，常用方法有代入消元法（包括集團代人法）、加減消元法、參數轉化法和三角代換法等，轉化的過程中要注意參數方程中含有的限制條件，在普通方程中應加上這種限制條件才能保持其等價性.3．參數方程的用途主要有以下幾個方面：（1）求動點的軌跡，如果的關系不好找，我們引入參變量后，很容易找到與和與的等量關系式，．（2）可以用曲線的參數方程表示曲線上一點的坐標，這樣把二元問題化為一元問題來解

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