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從古典幾何到現代幾何(已修改)

2026-06-26 23:47 本頁面

　

【正文】從古典幾何到現代幾何劉建成教授西北師范大學數信學院幾何原本 ? 在差不多一百年前，幾何就是歐幾里得。他在公元前三百年左右寫了一部大書，中文叫做《幾何原本》。 ? 事實上在當時的社會，幾何并不被大家所注意，所以像歐幾里得這樣偉大的人，我們也不大知道他的生平。 ? 這本書是人類文化史上一部非常偉大、有意義的著作，它的主要結論有兩個：幾何原本的主要結論 ?畢達哥拉斯定理 (勾股定理 )：有一直角三角形 ABC，則長邊的平方會等于其它兩邊的平方和。由幾何方面來說，如果我們在三邊上各作一個正方形，那么兩個小正方形的面積和就會等于大正方形的面積。 ?內角和定理：三角形三內角之和等于 180176。，如果以弧度 (radian) 為單位，也可以說三角形三內角之和等于 π ? 后人稱頌畢達哥拉斯定理，說它是平面幾何中最重要的定理。迄今為止，在任何有意義的幾何空間中，都要求這條定理在無窮小的情形下成立。 ? 三角形內角和為 180?，本質上是說平面是平坦不具有彎曲的。Legendre首先指出它等價于下面所給出的命題： Legendre 畢達哥拉斯歐氏幾何對后世的影響內角和定理的等價命題一直線與其它二直線相交后，假設其同側二內角和少于二直角，則沿此側面延長此二直線，它們必會在某處相交。歐氏第五公設另一個簡單的說法是：假使有一直線和線外一點，那么通過那個點就剛剛好只有一條直線和原來的直線平行（平行者，就是這兩條直線不相交）這個說法即歐氏第五公設。第五公設證明的失敗 ? 這個平行公理在所有公理之中是最不明顯的，所以數學家或是對數學有興趣的人便想從其它的公理去推得平行公理。 ? 而這努力延持了兩千年左右，后來證明這是不可能的，于是有了非歐幾何學的發現，這在人類思想史上是非常特別、有意思的事實。下面是一些嘗試去用歐氏其它公理去證明第五公理的人： ? Ptolemy (168) ? Prolos (410485) ? Nasir al din al Tusi (1300) ? Levi ben Gerson (12881344) ? Cataldi (15481626) ? Giovanni Alfonso Borelli (16081679) ? Giordano Vitale (16331711) ? John Wallis (16161703) ? Gerolamo Saccheri (16671733) ? Johann Heinrich Lambert (17281777) ? Adrien Marie Legendre (1752 1833) Lambert Ptolemy Borelli 第五公設證明的失敗最后，高斯、 Bolyai和羅巴切夫斯基不約而同地發明了雙曲幾何 ──曲率為負常數的二維曲面。故老相傳，高斯曾測量在 Harz山脈中由 Inselberg、 Brocken和Hoher三地形成的三角形，看看其內角和是否等于 180?。高斯 Bolyai 羅巴切夫斯基雙曲幾何克萊茵（ F. Klein）創造了一種解析的方法，通過賦與在單位圓盤上任意兩點的某種距離，給出雙曲幾何的一個模型。后人稱之為 Klein模型。至此，人們終于證明了歐氏第五公理不可以由其它公理推導出來。雙曲幾何給出第一個抽象而與歐氏不一樣的空間，影響到黎曼的工作。 Klein Model和非歐幾何的誕生球面幾何 ? 球面幾何：球面上當然沒有“直線”，取而代之的是“大圓” 球面上以球心為圓心的的圓。“線段”則是大圓的圓弧。過球上任意不是對徑點的兩點，都有唯一的大圓把它們連起來。類似的，我們還可以定義兩條大圓弧的夾角為相應切線的夾角。遺憾的是，由于任意兩個大圓都有兩個交點，球面幾何并不在歐氏幾何的體系內。球面幾何 ? 球面幾何：球面幾何所討論的三角形是一個球面三角形，在這個情形下，三角形三內角之和會大于 180176。，并且有一個非常重要的公式： ? 球面幾何是非常有用的幾何，天上（天文），地上（地理）都用得著它。要是沒有球面幾何學，大航海時代恐怕很難到來，誰讓地球是圓的呢？ 2RCBA面積???? ?球面三角形效果圖雙曲幾何、非歐幾何 ? 雙曲幾何：在這個情形下，三角形三內角之和是小于 180176。的，即有如下的重要公式： ? 非歐幾何：球面幾何與雙曲幾何統稱為非歐幾何。 2RCBA面積????? ?內角和公式的解釋 ? 代表非歐幾何的一個絕對的度量，表示彎曲程度，叫曲率。 ? 因此有曲率的觀念跑到這樣一個簡單的公式里。這在數學或物理上是一個重要發展，因為愛因斯坦的相對論中，曲率＝代表一個場的力，所以幾何度量和物理度量便完全一樣。 2RCBA面積???? ?2/1 R2RCBA面積????? ?2/1 R內角和公式的解釋 ? 球面幾何中曲率是正的，雙曲幾何中曲率是負的。而其相對應的三角形三內角和，也分別有大于或小于 180176。之情形，不再滿足歐幾里得的平行公理。 ? 從這些公式可以看出，三角形的面積

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