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平行四邊形與特殊的平行四邊形(已修改)

2026-06-27 00:02 本頁面

　

【正文】平行四邊形的性質與判定一、總結平行四邊形的性質與判定原理：性質原理判定原理邊兩組對邊分別平行；兩組對邊分別相等；兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；角對角相等；鄰角互補；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；線對角線互相平分。對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。【問題1】我們學習平行四邊形的性質是從哪幾個方面來研究的？從“邊、角、線”三個方面，其中“線”指的是對角線。【問題2】判定一個四邊形是平行四邊形必須有幾個條件？必須具備兩個條件；注意判定原理5“對角線互相平分”也是兩個等量。圖P01二、總結與平行四邊形相關的性質：（注意，以下性質只可用來指導解證題，在填空、選擇題中可直接使用，但在解答題中不可直接當作原理使用）【平行四邊形對角線相關性質】① 平行四邊形每一條對角線將其分成兩個全等的三角形；平行四邊形的對角線將其分成四個面積相等的小三角形；相對的兩個小三角形全等；相鄰兩個三角形的周長之差就等于邊長之差。如圖P01，點O是對角線AC、BD交點，則ABO、ADO、CDO、CBO的面積相等。依據是每相鄰兩個三角形都是“等底同高”。〖練習〗⒈如圖P01，點O是對角線AC、BD交點，若S⊿ABO=2，則S⊿ABD= ；SABCD= ⒉如圖P01，點O是對角線AC、BD交點，則圖中共有對全等三角形。 ⒊如圖P01，已知，ABCD的周長為28，點O是對角線AC、BD交點，ABO的周長比CBO的周長多4，則AB= ，BC= 圖P02 ⒋如圖P01，點O是對角線AC、BD交點，已知AB=8，BC=6，⊿ABO的周長為17，則CBO的周長= ② 在平行四邊形內，過對角線交點且兩端點在平行四邊形邊上的線段一定被對角線交點平分；如圖P02，點O是對角線AC、BD交點，線段 EF過點O，則OE=OF；證AEO≌CFO即可〖練習〗⒈如圖P02，ABCD中，EF過對角線交點O，若AB=5，BC=4，EO=3，則四邊形CDEF的周長為圖P03⒉如圖P03，ABCD中有圓O，請你畫一條直線，將此平行四邊形及圓O的面積分成相等的兩部分。 ③ 若設平行四邊形兩條對角線長分別為2和2()，則此平行四邊形每條邊長的取值范圍為〖練習〗⒈如圖P01，若AC=8，BD=12，則 AB的取值范圍是 ⒉三角形一邊上的中線的取值范圍為：大于另兩邊之差，小于另兩邊之和。圖P04 如圖P04，已知D為ABC中BC邊上的中點， AB=5，AC=7，求AD的取值范圍。〖提示〗延長AD至E，使DE=AD，連結BE、EC，易證得ABEC；記住此法：倍長中線法，是常用的輔助線作法【四邊形四邊中點連線性質】④ 順次連結四邊形四邊中點所得的四邊形是平行四邊形；圖P05 如圖P05，連結AC，由三角形中位線原理可得：HG、EF都平行且等于AC，∴HG平行且等于EF，得平行四邊形注：此性質在學習了菱形、矩形后還有擴充。【等腰三角形與平行線相關性質】⑤ 從等腰三角形底邊上任一點做兩腰的平行線，圖P06可得一平行四邊形和兩個小的等腰三角形，且平行四邊形的周長等于兩腰長之和；如圖P06，AB=AC，DE∥AC，DF∥AB 易得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠B=∠C， ∴∠1=∠C，∠2=∠B〖練習〗如圖P06，ABC中，AB=AC=6，D是BC上一點，DE∥AC，DF∥AB，求四邊形AFDE的周長。圖P07⑥ 一條角平分線與平行線相交時常會出現等腰三角形；如圖P07，AB∥CD，∠1=∠2，則易證 ∠1=∠3，∴∠2=∠3，得等腰AED〖練習〗⒈如圖P08，在ABCD中，AB=7，AD=3，∠DAB的的平分線交CD于E，交BC的延長線圖P08于F，求CF長 ⒉ 如圖P09，ABC中，∠ABC與∠ACB的角圖P09 平分線交于點F，DE∥BC且過點F 求證：DE=BD+EC【中位線相關性質】 ⑦ 三角形中位線原理：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半；三角形中位線原理推論：過三角形一邊中點且平行另一邊的直線必平分第三邊。圖P10 如圖P10，D、E分別為AB、AC中點，則有： DE∥BC，DE=BC；若已知D為AB中點， DE∥BC，則有：AE=CE〖練習〗證明三角形中位線原理推論已知：求證：證明：⑧ 三角形的三條中位線將原三角形分成的四個小三角形的全等，周長都等于原三角形周長的一半，面積都等于原三角形面積的1/4。圖P11 如圖P11，D、E、F分別是ABC三邊中點，則圖中四個小三角形都全等，且面積都等于ABC面積的1/4；周長都等于ABC周長的1/2；圖中共有3個平行四邊形。〖練習〗如圖P11，D、E、F分別是ABC三邊中點， AB=6，AC=7，BC=10，則DEF的周長為

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