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勾股定理經典例題(含答案)(已修改)

2026-06-29 07:15 本頁面

　

【正文】勾股定理經典例題透析類型一：勾股定理的直接用法在Rt△ABC中，∠C=90176。 (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路點撥: 寫解的過程中，一定要先寫上在哪個直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。解析：(1) 在△ABC中，∠C=90176。，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90176。，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90176。，c=25，b=15,a= 舉一反三【變式】如圖∠B=∠ACD=90176。, AD=13,CD=12, BC=3,則AB的長是多少? 【答案】∵∠ACD=90176。 AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90176。且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的長是4.類型二：勾股定理的構造應用如圖，已知：在中，，. 求BC的長. 思路點撥：由條件，想到構造含角的直角三角形，為此作于D，則有，再由勾股定理計算出AD、DC的長，進而求出BC的長. 解析：作于D，則因， ∴（的兩個銳角互余） ∴（在中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）. 根據勾股定理，在中， . 根據勾股定理，在中， . ∴ . 舉一反三【變式1】如圖，已知：，于P. 求證：. 解析：連結BM，根據勾股定理，在中， . 而在中，則根據勾股定理有 . ∴ 又∵ （已知）， ∴. 在中，根據勾股定理有， ∴. 【變式2】已知：如圖，∠B=∠D=90176。，∠A=60176。，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。分析：如何構造直角三角形是解本題的關鍵，可以連結AC，或延長AB、DC交于F，或延長AD、BC交于點E，根據本題給定的角應選后兩種，進一步根據本題給定的邊選第三種較為簡單。解析：延長AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60176。，∠B=90176。，∴∠E=30176。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2AB2=8242=48，BE==。 ∵DE2= CE2CD2=4222=12，∴DE==。 ∴S四邊形ABCD=S△ABES△CDE=ABBECDDE=類型三：勾股定理的實際應用（一）用勾股定理求兩點之間的距離問題如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A點出發，沿北偏東60176。方向走了到達B點，然后再沿北偏西30176。方向走了500m到達目的地C點。（1）求A、C兩點之間的距離。（2）確定目的地C在營地A的什么方向。解析：（1）過B點作BE//AD ∴∠DAB=∠ABE=60176。 ∵30176。+∠CBA+∠ABE=180176。 ∴∠CBA=90176。即△ABC為直角三角形由已知可得：BC=500m，AB= 由勾股定理可得：所以（2

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