博弈理論知識講義(已修改)

　

【正文】 第八章 博弈論前面章節對經濟人最優決策的討論，是在簡單環境下進行的，沒有考慮經濟人之間決策相互影響的問題。本章討論這個問題，建立復雜環境下的決策理論。開展這種研究的的理論叫做博弈論，也稱為對策論(Game Theory)。最近十幾年來，博弈論在經濟學中得到了廣泛應用，在揭示經濟行為相互制約性質方面取得了重大進展。大部分經濟行為都可視作博弈的特殊情況，比如把經濟系統看成是一種博弈，把競爭均衡看成是該博弈的古諾納什均衡。博弈論的思想精髓與方法，已成為經濟分析基礎的必要組成部分。第一節 博弈事例博弈是一種日常現象，例如棋手下棋，雙方都要根據對方的行動來決定自己的行動，雙方的目的都是要戰勝對方，互不相容，互相影響，互相制約。一般來講，博弈現象的特征表現為兩個或兩個以上具有利害沖突的當事人處于一種不相容的狀態中，一方的行動取決于對方的行動，每個當事人的收益都取決于所有當事人的行動。當所有當事人都拿定主意作出決策時，博弈的局勢就暫時確定下來。博弈論就是研究這種不相容現象的一種理論，并把當事人叫做局中人(player)。博弈論推廣了標準的一人決策理論。在每個局中人的收益都依賴于其他局中人的選擇的情況下，追求收益最大化的局中人應該如何采取行動？顯然，為了確定出可行的策略，每個局中人都必須考慮其他局中人面臨的問題。下面來舉例說明。例1．便士匹配(Matching Pennies)(二人零和博弈)設博弈中有兩個局中人甲和乙，每個局中人都有一塊硬幣，并且各自獨立安排硬幣是否正面朝上。局中人的收益情況是這樣的：如果兩個局中人同時出示硬幣正面或反面，那么甲贏得１元，乙輸掉１元；如果一個局中人出示硬幣正面，另一個局中人出示硬幣反面，那么甲輸掉１元，乙贏得１元。表1： 便士匹配博弈局勢表 乙甲正面反面正面(正，正)(正，反)反面(反，正)(反，反)對于這個博弈，每個局中人可選擇的策略都有兩種：正面朝上和反面朝上，即甲和乙的策略集合都是{正面，反面}。當甲和乙都作出選擇時，博弈的局勢就確定了。顯然，該博弈的局勢集合是{(正面,正面)，(正面,反面)，(反面,正面)，(反面,反面)}，即各種可能的局勢的全體，也稱為局勢表，即表1。表2： 甲和乙的收益表 乙甲正面反面正面 ,反面, ,每個局中人的收益都取決于所有局中人的決策，也就是說，局中人的收益是博弈局勢的函數。本例中，甲的收益函數為：，，；乙的收益函數為：，。局中人的收益函數也可用表格或矩陣加以表示，并稱其為收益表或收益矩陣。表2中，甲的收益列在左邊，乙的收益列在右邊。該博弈的特點在于每個局中人的收益都是另一個局中人的付出，即甲和乙的收益之和為零，收支發生在局內，不涉及任何局外人。這種博弈就是所謂的二人零和博弈。習慣上，人們喜歡把二人博弈的第一個局中人甲叫做“列”，第二個局中人乙叫做“行”，而且總是把列的收益寫在前面(即左邊)，行的收益寫在后面(即右邊)。例2．囚徒難題(Prisoner39。s Delimma)(二人變和博弈)表3： 囚徒博弈局勢表乙甲合作背叛合作(合作,合作)(合作,背叛)背叛(背叛,合作)(背叛,背叛)有兩個狂徒甲和乙因共同參與了一起犯罪活動而被囚禁收審。他們可以選擇合作，拒絕供出任何犯罪事實；也可以選擇背叛，供出對方的犯罪行徑。這就是所謂的囚徒博弈，也叫做囚徒難題。博弈的局中人甲和乙都有兩種可選擇的策略：合作與背叛。囚徒博弈的意義在于它可以解釋寡頭壟斷廠商的行為，關鍵是賦予合作與背叛具體的經濟含義。比如在雙頭壟斷的情況下，合作可以解釋為“保持索要一個高價”，背叛可解釋為“降價以爭奪對手的市場”。右表給出了囚徒博弈的局勢表。局中人可以事先討論這局博弈，但實際決策必須獨立地做出。如果甲采取合作策略，不供出乙的犯罪事實，那么乙就能得到3000元的收益。同樣，如果乙采取合作策略，那么甲就能得到3000元的收益。可見，如果甲乙雙方都采取合作策略，雙方各得3000元收益。但是，審訊者用1000元獎賞來鼓勵局中人采取背叛策略。這樣，只要局中人選擇背叛，他就會得到1000元鼓勵，而不管另一個局中人會采取什么策略。需要注意的是，囚徒博弈中的貨幣支付來自第三方——局外人，這正是囚徒博弈同便士匹配博弈的不同之處。奧曼(Aumann)1987年對囚徒博弈給出了一個特別簡單的描述：每個局中人都可以對仲裁人簡單地宣告“給我1000元”或“給對方3000元”。表4： 甲和乙的收益表 乙 甲合作背叛合作3000, 3000 0, 4000背叛4000, 01000, 1000簡單分析一下就會發現，如果一個局中人采取合作策略，而另一個局中人采取背叛策略，那么采取合作策略的局中人的收益為零，而采取背叛策略的局中人的收益為4000元(3000元收益再加上1000元的背叛鼓勵)。如果雙方都采取背叛策略，則雙方的收益各為1000元。表4列出了甲乙雙方的收益情況。從收益表可以看出，甲乙雙方的收益之和不為零，而且收益和是變化的。因此，囚徒博弈是一種變和博弈。直覺上看，甲和乙都應采取合作策略(互不供出對方的犯罪事實)，各得3000元收益。但從收益表可以得出這樣的結論：如果一個局中人認為另一個局中人將合作，從而他將得到3000元收益，那么他若采取背叛策略，就將總共能獲得4000元的收益；如果他認為另一個局中人為了得到1000元鼓勵而將背叛，那么他也就只好為了自己也取得1000元鼓勵而采取背叛策略(否則，他將一無所獲)。總之，在收益最大化動機的驅使下，局中人的最優選擇是背叛。這樣一來，甲乙雙方都采取背叛策略，各得1000元收益；而不是都采取合作策略，各得3000元。這是一個典型的博弈悖論，問題的關鍵在于每個局中人都有背叛的鼓勵，而不管其他局中人將做什么。例3．古諾博弈(雙頭壟斷：產量較量)法國經濟學家古諾(Cournot)于1838年以天然礦泉井為例，首次建立了簡單的雙頭壟斷博弈模型，其特點是，壟斷廠商雙方都天真地以為對方不會改變原有產量水平，雙方都追求各自利潤最大化。古諾假定：①有兩個天然礦泉在一起，分別為廠商甲和乙占有；②兩個礦泉都為自流井，生產成本為零，邊際成本也為零；③甲和乙面對相同的需求曲線，采用相同的價格；④雙方都以為對方的產量水平不會改變。在這些假設前提下，甲和乙各自獨立決定自己的產量水平，以求利潤最大化。設是甲乙雙方共同面臨的反需求函數。當甲的礦泉水產量為，乙的產量為時，礦泉水的市場價格為，甲的利潤, 乙的利潤為。在這個博弈中，甲乙雙方的策略都表現為選擇產量水平，局中人的收益即為廠商的利潤。當甲的產量為時，乙以為甲不會改變這一產量，而選擇一個合適的產量水平以使自己的利潤達到最大。同樣，當乙的產量水平為時，甲以為乙不會改變這一產量，而選擇一個合適的產量水平以使自己的利潤達到最大。為了說明這個博弈的結果，假設甲乙雙方面臨的反需求函數。用表示這局博弈中甲選擇的最優產量，表示乙選擇的最優產量水平，則甲乙各自的收益分別為和。由于實現了利潤最大化，因此解之得：當乙的產量水平為時，甲決定的產量水平為(這是甲對乙的反應函數)；當甲的產量水平為時，乙決定的產量水平為(這是乙對甲的反應函數)。其中，表示礦泉水市場容量(即價格為零時的礦泉水需求量)。進一步求解可得：, 即博弈的結果是雙方最終各占據礦泉市場的三分之一。反應函數說明，古諾博弈中每個局中人的決策(選定的產量水平)不但依賴于其他局中人的決策，而且與市場的容量有關。例4．貝特蘭博弈(雙頭壟斷：價格較量)古諾博弈模型描述了雙頭壟斷廠商之間展開的產量較量。實際上廠商之間的產量較量并不如價格較量那么普遍，寡頭之間應該有激烈的價格競爭。不論市場價格如何，只要某一廠商降低價格，而其他競爭對手保持原價格不變，那么降價廠商就能占有全部市場。這就是說，我們假定消費者只從最低價格廠商那里購買產品。為此，法國經濟學家貝特蘭(Bertrand)于1883年提出了以價格為選擇策略的貝特蘭博弈模型，反對古諾關于產量的博弈模型。還以礦泉水為例，在貝特蘭博弈模型中各廠商都預期對手不會改變價格，從而將自己的價格確定在利潤最大化的水平之上。這就是說，貝特蘭博弈的構建同古諾博弈相似，所不同的是貝特蘭博弈中局中人的策略是選擇價格，而古諾博弈局中人的策略是選擇產量水平。貝特蘭博弈中兩個局中人甲和乙也是面臨相同的市場需求函數，不過現在價格是自變量，產量為因變量(古諾模型正好相反)。設市場需求函數為, 為了分析上簡單起見，進一步設(這里，,，即與古諾模型中的市場需求相同)。局中人的收益仍是他所獲得的利潤。如果甲和乙不相互勾結串通，當乙采取了價格水平時，甲認為乙不會改變這一價格水平，從而為了占領市場而要采取低于乙的價格水平的價格，于是甲的利潤為，乙的利潤為零；同樣，當甲采取了價格水平時，乙認為甲不會改變這一價格水平，從而為了占領市場而要采取低于甲的價格水平的價格，于是乙的利潤為, 甲的利潤為零。如果甲和乙相互勾結串通起來，采取相同的價格策略，即，那么甲和乙就能索要一個壟斷價格，并且每人可收取一半的壟斷利潤。由此可見，甲和乙的利潤函數分別為： ， 如果甲和乙勾結串通，合作起來，那么雙方就能按照最大利潤價格獲得壟斷價格，并且各得最大利潤的一半。這里，利潤最大化價格是按照確定的。但是，占領市場的誘惑對每個局中人都存在，只要他稍微降價，他就能獲得全部市場。假如甲先進入該礦泉市場，那么甲就按照利潤最大化價格$P_1=Q_o/(2b)$獲取最大利潤。 繼而乙進入這個市場，且乙認為甲不會改變他的價格$P_1$，于是乙為了奪取市場而采取低于甲的價格水平的一個價格(。由于乙奪走了市場，甲同樣又會采取低于乙的價格水平的價格，以奪回市場。這樣不斷往復下去，直至最后甲乙雙方都把價格水平定為零時才可達到均衡，此時雙方的收益為零，市場各占一半(即甲的銷售量和乙的銷售量相等，且)。這就是甲乙雙方不合作的結果，雙方都變得更差。以上分析表明：把貝特蘭博弈與古諾博弈作比較，對同一市場來說，由于選擇了不同的策略集合(一個以產量作為策略，另一個以定價作為策略)，得出了不同的博弈結果，貝特蘭博弈的均衡價格、均衡產量和均衡利潤都呈完全競爭狀態(超額利潤為零)，而古諾博弈的結果不是這樣；再把貝特蘭博弈同囚徒難題博弈作比較，二者具有相似的結構，即局中人合作會取得最好的結果，但利益的誘惑促使他們采取不合作的行動，致使雙方博弈的結局都變得更差。貝特蘭博弈也可用囚徒博以來解釋：合作是指兩個廠商的勾結，背叛是指兩個廠商獨立行動，沒有勾結。合作，可以索要一個高的壟斷價格；背叛，則導致市場價格為零，雙方利潤為零。可見，雙方合作起來，對兩個廠商都有利，似乎應該合作。但博弈的最終結果是雙方都采取背叛策略，導致誰也得不到利潤。本節所舉的這些事例說明，寡頭壟斷廠商之間展開的競爭與較量完全可以用博弈加以描述和研究。實際上，經濟學中大部分經濟現象都可以作為博弈的特殊情形進行研究，比如歷史上解決競爭均衡的存在性這一經濟學基本問題時，就把經濟系統看成為一局博弈。為了研究博弈，必須抓住博弈現象的基本要素，這些要素是：局中人、策略、收益。也就是說，博弈可以用局中人集合、策略集合和收益函數加以描述。局中人從策略集合中選擇一種策略后所獲得的效用或利益，就是局中人的收益(payoffs)，也叫做得失。我們假定每一個局中人都知道他自己和別人的策略集合與收益函數，這就是說，每個局中人的策略集合與收益函數為所有局中人所共知。當然，每個局中人都知道其他局中人掌握著這些信息和知識。局中人的收益不但依賴于他自己的策略選擇，而且依賴于其他局中人的策略選擇。我們再假定每個局中人在給定的主觀信念下會選擇收益最大化的行動，并且當新的信息根據貝葉斯規則到來時，這些信息會得到修正(即根據貝葉斯全概率公式從先驗概率計算后驗概率)。第二節 策略博弈為了能夠正確地應用博弈論研究經濟問題，需要對博弈加以準確地描述和定義。要定義一個博弈，需要確定三件事情：一是局中人集合(set of players)，一是局中人的策略集合(set of strategies)，一是局中人的收益函數(payoff function)。這三件事情中，確定策略集合是至關重要的。局中人以策略決定勝負，目標是使他的收益最大化。這種以策略定勝負的博弈，稱為策略博弈(game of strategy)。正象比較古諾博弈和貝特蘭博弈時說明的問題一樣，用博弈論研究經濟問題時，對于同一經濟現象，由于選擇了不同的策略集合，得到的博弈結果截然不同。用表示博弈的局中人集合，表示局中人的策略集合，表示的收益函數，則就表示了一個博弈。根據局中人的多少，博弈可分為二人博弈和多人博弈。根據博弈的策略集合是否有限，博弈還又可分為有限博弈和無限博弈。例如，便士匹配和囚徒難題都是有限博弈，而古諾博弈和貝特蘭博弈都是無限博弈。還可根據所有局中人的收益總和是否固定，把博弈分為常和博弈和變和博弈。常和博弈分為零和博弈(即收益總和為零的博弈)和非零和博弈。二人零和有限博弈是所有博弈中最簡單、最重要的一類，通常稱為矩陣博弈。本節以二人博弈為重點，介紹有關策略博弈的概念與理論。一．策略表與收益矩陣設二人博弈的局中人是甲和乙。甲有種可選策略，策略表為；乙有種可選策略，策略表為。當甲采取策略，乙采取策略時，稱為博弈的局勢，集合就是局勢集合(局勢表、局勢矩陣)，即每個局中人選擇自己的策略時，都要考慮對手的行動。這樣每個局中人的收益不但與自己的選擇有關，而且與對手的選擇有關，收益函數是定義在局勢集合上的函數，這里假定了局中人的收益是可以用實數來都來計量的。用表示局中人甲的收益函數，用表示局中人乙的收益函數。由于局勢集合是有限集合，收益函數和都可用矩陣加以表示，這些矩陣就稱為收益矩陣。記,，則甲和乙的收益矩陣分別為：，當(常數)時，該博弈就是常和博弈。否則，就是變和博弈。局中人的策略與收益也可用收益表加以表達：表1： 博弈的收益表乙的策略甲的策略……