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隨機過程知識點匯總(已修改)

2026-06-29 19:39 本頁面

　

【正文】第一章隨機過程的基本概念與基本類型一．隨機變量及其分布1．隨機變量，分布函數離散型隨機變量的概率分布用分布列分布函數連續型隨機變量的概率分布用概率密度分布函數2．n維隨機變量其聯合分布函數離散型聯合分布列連續型聯合概率密度３．隨機變量的數字特征數學期望：離散型隨機變量　　　連續型隨機變量　　　方差：　　反映隨機變量取值的離散程度協方差（兩個隨機變量）：相關系數（兩個隨機變量）：　　　　若，則稱不相關。獨立不相關４．特征函數　　離散　　連續　重要性質：，，５．常見隨機變量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布　　　　　二項分布　　　　　泊松分布　　　　　　均勻分布略正態分布　　　　　指數分布　　　　　　　　　６．Ｎ維正態隨機變量的聯合概率密度，正定協方差陣二．隨機過程的基本概念１．隨機過程的一般定義設是概率空間，是給定的參數集，若對每個，都有一個隨機變量與之對應，則稱隨機變量族是上的隨機過程。簡記為。含義：隨機過程是隨機現象的變化過程，用一族隨機變量才能刻畫出這種隨機現象的全部統計規律性。另一方面，它是某種隨機實驗的結果，而實驗出現的樣本函數是隨機的。當固定時，是隨機變量。當固定時，時普通函數，稱為隨機過程的一個樣本函數或軌道。分類：根據參數集和狀態空間是否可列，分四類。　也可以根據之間的概率關系分類，如獨立增量過程，馬爾可夫過程，平穩過程等。２．隨機過程的分布律和數字特征用有限維分布函數族來刻劃隨機過程的統計規律性。隨機過程的一維分布，二維分布，…，維分布的全體稱為有限維分布函數族。隨機過程的有限維分布函數族是隨機過程概率特征的完整描述。在實際中，要知道隨機過程的全部有限維分布函數族是不可能的，因此用某些統計特征來取代。（１）均值函數　表示隨機過程在時刻的平均值。（２）方差函數表示隨機過程在時刻對均值的偏離程度。（３）協方差函數　且有（４）相關函數　(3)和(4)表示隨機過程在時刻，時的線性相關程度。（５）互相關函數：，是兩個二階距過程，則下式稱為它們的互協方差函數。，那么，稱為互相關函數。若，則稱兩個隨機過程不相關。３．復隨機過程　均值函數　　方差函數協方差函數相關函數４．常用的隨機過程（１）二階距過程：實（或復）隨機過程，若對每一個，都有（二階距存在），則稱該隨機過程為二階距過程。（2）正交增量過程：設是零均值的二階距過程，對任意的，有，則稱該隨機過程為正交增量過程。其協方差函數（3）獨立增量過程：隨機過程，若對任意正整數，以及任意的，隨機變量是相互獨立的，則稱是獨立增量過程。進一步，如是獨立增量過程，對任意，隨機變量的分布僅依賴于，則稱是平穩獨立增量過程。（4）馬爾可夫過程：如果隨機過程具有馬爾可夫性，即對任意正整數及，都有，則則稱是馬爾可夫過程。（5）正態過程：隨機過程，若對任意正整數及，（）是n維正態隨機變量，其聯合分布函數是n維正態分布函數，則稱是正態過程或高斯過程。（6）維納過程：是正態過程的一種特殊情形。設為實隨機過程，如果，①；②是平穩獨立增量過程；③對任意增量服從正態分布，即。則稱為維納過程，或布朗運動過程。　另外：①它是一個Markov過程。因此該過程的當前值就是做出其未來預測中所需的全部信息。 ②維納過程具有獨立增量。該過程在任一時間區間上變

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