概率論與數理統計-謝永欽版課后答案(已修改)

　

【正文】 概率論與數理統計習題及答案習題 一1．.，B，C為三個事件，試用A，B，C的運算關系式表示下列事件：（1） A發生，B，C都不發生； （2） A與B發生，C不發生；（3） A，B，C都發生； （4） A，B，C至少有一個發生；（5） A，B，C都不發生； （6） A，B，C不都發生；（7） A，B，C至多有2個發生； （8） A，B，C至少有2個發生.【解】（1） A （2） AB （3） ABC（4） A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC=(5) = (6) (7) BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪==∪∪(8) AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABC3.，B為隨機事件，且P（A）=,P(AB)=，求P（）.【解】 P（）=1P（AB）=1[P(A)P(AB)]=1[]=，B是兩事件，且P（A）=,P(B)=,求：（1） 在什么條件下P（AB）取到最大值？（2） 在什么條件下P（AB）取到最小值？【解】（1） 當AB=A時，P（AB）.（2） 當A∪B=Ω時，P（AB）.，B，C為三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件發生的概率.【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=++=7.從52張撲克牌中任意取出13張，問有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概率是多少？【解】 p=8.對一個五人學習小組考慮生日問題：（1） 求五個人的生日都在星期日的概率； （2） 求五個人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五個人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 設A1={五個人的生日都在星期日}，基本事件總數為75，有利事件僅1個，故 P（A1）==（）5 （亦可用獨立性求解，下同）（2） 設A2={五個人生日都不在星期日}，有利事件數為65，故P（A2）==()5(3) 設A3={五個人的生日不都在星期日}P（A3）=1P(A1)=1()59..，（nN）.試求其中恰有m件（m≤M）正品（記為A）：（1） n件是同時取出的；（2） n件是無放回逐件取出的；（3） n件是有放回逐件取出的.【解】（1） P（A）=(2) 由于是無放回逐件取出，，從M件正品中取m件的排列數有種，從NM件次品中取nm件的排列數為種，故P（A）=由于無放回逐漸抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可寫成P（A）=可以看出，用第二種方法簡便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N種取法，故所有可能的取法總數為Nn種，n次抽取中有m次為正品的組合數為種，對于固定的一種正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M種取法，共有Mm種取法，nm次取得次品，每次都有NM種取法，共有（NM）nm種取法，故此題也可用貝努里概型，共做了n重貝努里試驗，每次取得正品的概率為，則取得m件正品的概率為11..12. 50只鉚釘隨機地取來用在10個部件上，？【解】設A={發生一個部件強度太弱}13.一個袋內裝有大小相同的7個球，其中4個是白球，3個是黑球，從中一次抽取3個，計算至少有兩個是白球的概率.【解】 設Ai={恰有i個白球}（i=2,3），顯然A2與A3互斥.故 14.有甲、乙兩批種子，在兩批種子中各隨機取一粒，求：（1） 兩粒都發芽的概率；（2） 至少有一粒發芽的概率；（3） 恰有一粒發芽的概率.【解】設Ai={第i批種子中的一粒發芽}，（i=1,2）(1) (2) (3) 15.擲一枚均勻硬幣直到出現3次正面才停止.（1） 問正好在第6次停止的概率；（2） 問正好在第6次停止的情況下，第5次也是出現正面的概率.【解】（1） (2) 16.甲、乙兩個籃球運動員，每人各投了3次，求二人進球數相等的概率.【解】 設Ai={甲進i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙進i球},i=0,1,2,3,則 =17．從5雙不同的鞋子中任取4只，求這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率.【解】 18.，,求：（1） 在下雨條件下下雪的概率；（2） 這天下雨或下雪的概率.【解】 設A={下雨}，B={下雪}.（1） （2） 19.已知一個家庭有3個小孩，且其中一個為女孩，求至少有一個男孩的概率（小孩為男為女是等可能的）.【解】 設A={其中一個為女孩}，B={至少有一個男孩}，樣本點總數為23=8，故或在縮減樣本空間中求，此時樣本點總數為7.20.已知5%%的女人是色盲，現隨機地挑選一人，此人恰為色盲，問此人是男人的概率（假設男人和女人各占人數的一半）.【解】 設A={此人是男人}，B={此人是色盲}，則由貝葉斯公式 21.兩人約定上午9∶00~10∶00在公園會面，求一人要等另一人半小時以上的概率. 題21圖 題22圖【解】設兩人到達時刻為x,y,則0≤x,y≤“一人要等另一人半小時以上”等價于|xy|.22.從（0，1）中隨機地取兩個數，求：（1） 兩個數之和小于的概率；（2） 兩個數之積小于的概率.【解】 設兩數為x,y，則0x,y1.（1） x+y. (2) xy=. 23.設P（）=,P(B)=,P(A)=，求P（B｜A∪）【解】 24.在一個盒中裝有15個乒乓球，其中有9個新球，在第一次比賽中任意取出3個球，比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出3個球，求第二次取出的3個球均為新球的概率.【解】 設Ai={第一次取出的3個球中有i個新球}，i=0,1,2,={第二次取出的3球均為新球}由全概率公式，有 25. 按以往概率論考試結果分析，努力學習的學生有90%的可能考試及格，不努力學習的學生有90%，學生中有80%的人是努力學習的，試問：（1）考試及格的學生有多大可能是不努力學習的人？（2）考試不及格的學生有多大可能是努力學習的人？【解】設A={被調查學生是努力學習的}，則={被調查學生是不努力學習的}.由題意知P（A）=，P（）=，又設B={被調查學生考試及格}.由題意知P（B|A）=，P（|）=，故由貝葉斯公式知（1） %(2) %.26. 將兩信息分別編碼為A和B傳遞出來，接收站收到時，∶，試問原發信息是A的概率是多少？【解】 設A={原發信息是A}，則={原發信息是B}C={收到信息是A}，則={收到信息是B}由貝葉斯公式，得 27.在已有兩個球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若發現這球為白球，試求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的顏色只有黑、白兩種）【解】設Ai={箱中原有i個白球}（i=0,1,2），由題設條件知P（Ai）=,i=0,1,={抽出一球為白球}.由貝葉斯公式知28.某工廠生產的產品中96%是合格品，檢查產品時，，求在被檢查后認為是合格品產品確是合格品的概率.【解】 設A={產品確為合格品}，B={產品被認為是合格品}由貝葉斯公式得 29.某保險公司把被保險人分為三類：“謹慎的”，“一般的”，“冒失的”.統計資料表明，,；如果“謹慎的”被保險人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，現知某被保險人在一年內出了事故，則他是“謹慎的”的概率是多少？【解】 設A={該客戶是“謹慎的”}，B={該客戶是“一般的”}，C={該客戶是“冒失的”}，D={該客戶在一年內出了事故}則由貝葉斯公式得 30.加工某一零件需要經過四道工序，設第一、二、三、,，假定各道工序是相互獨立的，求加工出來的零件的次品率.【解】設Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）. 31.，?【解】設必須進行n次獨立射擊.即為 故 n≥11至少必須進行11次獨立射擊.32.證明：若P（A｜B）=P(A｜)，則A，B相互獨立.【證】 即亦即 因此 故A與B相互獨立.33.三人獨立地破譯一個密碼，他們能破譯的概率分別為，，求將此密碼破譯出的概率.【解】 設Ai={第i人能破譯}（i=1,2,3），則 34.甲、乙、丙三人獨立地向同一飛機射擊，,，若只有一人擊中，；若有兩人擊中，；若三人都擊中，則飛機一定被擊落，求：飛機被擊落的概率.【解】設A={飛機被擊落}，Bi={恰有i人擊中飛機}，i=0,1,2,3由全概率公式，得=(++)+(++)+=35.已知某種疾病患者的痊愈率為25%，為試驗一種新藥是否有效，把它給10個病人服用，且規定若10個病人中至少有四人治好則認為這種藥有效，反之則認為無效，求：（1） 雖然新藥有效，且把治愈率提高到35%，但通過試驗被否定的概率.（2） 新藥完全無效，但通過試驗被認為有效的概率.【解】（1） (2) 36.一架升降機開始時有6位乘客，：（1） A=“某指定的一層有兩位乘客離開”；（2） B=“沒有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開”；（3） C=“恰有兩位乘客在同一層離開”；（4） D=“至少有兩位乘客在同一層離開”.【解】 由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開，故所有可能結果為106種.（1） ，也可由6重貝努里模型：（2） 6個人在十層中任意六層離開，故（3） 由于沒有規定在哪一層離開，故可在十層中的任一層離開，有種可能結果，再從六人中選二人在該層離開，因此可包含以下三種離開方式：①4人中有3個人在同一層離開，另一人在其余8層中任一層離開，共有種可能結果；②4人同時離開，有種可能結果；③4個人都不在同一層離開，有種可能結果，故（4） D=.故37. n個朋友隨機地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：（1） 甲、乙兩人坐在一起，且乙坐在甲的左邊的概率；（2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n個人并排坐在長桌的一邊，求上述事件的概率.【解】 （1） (2) (3) 38.將線段[0，a]任意折成三折，試求這三折線段能構成三角形的概率【解】 設這三段長分別為x,y,0xa,0ya,0axya所構成的圖形，有利事件集為由構成的圖形，即如圖陰影部分所示，故所求概率為.39. 某人有n把鑰匙，（抽樣是無放回的）.證明試開k次（k=1,2,…,n）才能把門打開的概率與k無關.【證】 ，在這些小立方體中，隨機地取出一個，試求它有i面涂有顏色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）.【解】 設Ai={小立方體有i面涂有顏色}，i=0,1,2,3. 在1千個小立方體中，只有位于原立方體的角上的小立方體是三面有色的，（除去八個角外）的小立方體是兩面涂色的，這樣的小立方體共有128=，原立方體的六個面上（除去棱）的小立方體是一面涂色的，共有886=（8+96+384）=512個內部的小立方體是無色的，故所求概率為,.，B，C，試證P（AB）+P（AC）P（BC）≤P(A).【證】 42.將3個球隨機地放入4個杯子中去，求杯中球的最大個數分別為1，2，3的概率.【解】 設={杯中球的最大個數為i},i=1,2,3.將3個球隨機放入4個杯子中，全部可能放法有43種，杯中球的最大個數為1時，每個杯中最多放一球，故而杯中球的最大個數為3，即三個球全放入一個杯中，故因此 或 43.將一枚均勻硬幣擲2n次，求出現正面次數多于反面次數的概率.【解】擲2n次硬幣，可能出現：A={正面次數多于反面次數}，B={正面次數少于反面次數}，C={正面次數等于反面次數}，A，B，C兩兩互斥.，故P（A）=P（B）.所以由2n重貝努里試驗中正面出現n次的概率為 故 44.擲n次均勻硬幣，求出現正面次數多于反面次數的概率.【解】設A={出現正面次數多于反面次