量子力學(xué)薛定諤方程(已修改)

　

【正文】 第二章 波函數(shù)與薛定諤方程 ? ? 態(tài)迭加原理 ? 薛定諤方程 ? 定態(tài)薛定諤方程 ? 一維無限深勢阱 ? 線性諧振子 ? 勢壘貫穿（隧道效應(yīng)） 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律 167。 態(tài)疊加原理 一、量子態(tài)及其表象 二、態(tài)疊加原理 一、量子態(tài)及其表象 完全確定變化，由的是 )()()( rF o u r i e rrp ??? ???對于一個粒子，當(dāng)描述它的波函數(shù)給定后， 如 測量其位置 ，則粒子出現(xiàn)在 處的幾率密度為 2)(r??r?如 測量其動量 ，則粒子出現(xiàn)在 處的幾率密度為 2)( p??p?與此類似，可以討論其他力學(xué)量的測量值。 總之，當(dāng) 給定后，粒子的所以力學(xué)量的測量值的幾率 分布就確定了。因此， 完全描述了三維空間中的量子態(tài)。 所以 波函數(shù) 也稱為 態(tài)函數(shù) ，也稱 幾率幅 。 )(r??)(r??)( p??同樣， 也 完全描述了粒子的量子態(tài)。 )( p?? 給定后，不僅動量的測量值的幾率分布完全確定， 2|)(| p??? ，而且位置的測量值的幾率分布也完全確定， .|)(| 2r??? 其他力學(xué)量的測量值也可以類似的給出。 因此，粒子的量子態(tài)即可以用 描述，也可以用 來描述（還可以有其他的描述方式）。它們彼此 間 有確定的變換關(guān)系 ，彼此 完全等價 。它們描述的都是 同一個量子態(tài)，只不過 表象 不同而已。這猶如一個矢量 可以采用不同的坐標(biāo)系描述一樣。 )(r??)( p??)( p??)(r??我們稱 是在 坐標(biāo)表象 中的表示， 是在 動量表象 中的表示。 顯然，量子態(tài)的描述方式與經(jīng)典粒子運(yùn)動的描述方式 （每一時刻粒子的確定位置坐標(biāo)和動量來描述）有 根本不同 。這是由微觀粒子的波粒二象性決定的。 二、態(tài)疊加原理 知道了波函數(shù)是描述一體系的量子態(tài)后，波函數(shù)的 疊加就有了更深刻的含義。 態(tài)疊加原理是 波的疊加性 和 波函數(shù)完全描述一體系的 量子態(tài) 的兩個概念的概括。 P Ψ1 Ψ 2 Ψ S1 S2 電子源 感光屏 一個電子有 Ψ 1 和 Ψ 2 兩種可能的狀態(tài)， Ψ 是這兩種狀態(tài)的疊加。 電子雙縫干涉實驗 Ψ= C 1Ψ 1 + C2Ψ 2 也是電子的可能狀態(tài)。 空間找到電子的幾率則是： |Ψ| 2 = |C1Ψ 1+ C2Ψ 2|2 = (C1*Ψ 1*+ C2*Ψ 2*) (C1Ψ 1+ C2Ψ 2) = |C1 Ψ 1|2+ |C2Ψ 2|2 + [C1*C2Ψ 1*Ψ 2 + C1C2*Ψ 1Ψ 2*] 電子穿過狹縫１出現(xiàn)在Ｐ點的幾率密度 電子穿過狹縫２出現(xiàn)在Ｐ點的幾率密度 相干項 正是由于相干項的出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍射花紋。 態(tài)疊加原理一般表述： 若 Ψ 1 ， Ψ 2 ,..., Ψ n ,...是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加 Ψ= C 1Ψ 1 + C2Ψ 2 + ...+ CnΨ n + ... (其中 C1 , C2 ,...,Cn ,...為復(fù)常數(shù) )。 也是體系的一個可能狀態(tài)。 處于 Ψ 態(tài)的體系，部分的處于 Ψ 1態(tài)，部分的處于 Ψ 2態(tài) ...，部分的處于 Ψ n， ... 一般情況下，如果 Ψ 1和 Ψ 2 是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加 Ψ= C 1Ψ 1 + C2Ψ 2 也是該體系的一個可能狀態(tài) .其中 C1 和 C2 是復(fù)常數(shù)，這就是量子力學(xué)的態(tài)疊加原理。 ?????? ???? )(e x p EtrpiAp ????了求和。所以后式應(yīng)用積分代替是連續(xù)變化的，由于其中，pdpdpdppdpdtrpctrtrpctrzyxppp???????????????????? ? ),()(),(),()(),(電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的動量 p 運(yùn)動。具有確定動量的運(yùn)動狀態(tài)用 de Broglie 平面波表示 根據(jù)疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài) Ψ 可表示成 p 取各種可能值的平面波的線性疊加，即 而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果。 ? d Ψ Ψ p 經(jīng)典 合成的波中有各種成分 相干性 量子 相干性 新特點 ? 可能性和概率 ? 干涉項的概率性 ? 是粒子運(yùn)動狀態(tài)概率波自身的干涉 ,不是不同粒子之間的干涉 對比： 小結(jié)： 微觀粒子波粒二象性 —— ＞波函數(shù) —— ＞幾率波、態(tài)函數(shù)（玻恩解釋）、完全描述量子態(tài) —— ＞態(tài)疊加原理 167。 薛定諤方程 一 引進(jìn)方程的基本考慮 二 自由粒子滿足的方程 三 勢場 V(r) 中運(yùn)動的粒子 四 多粒子體系的 Schrodinger 方程 167。 薛定諤方程 ? ? 牛頓方程特點 : ? 線性方程 ? 二階全微分方程 ,只有一個獨立變量 t ? 唯一性 ? 方程系數(shù)不含狀態(tài)參數(shù) ,有普適性 經(jīng)典力學(xué)：已知力 F 及 x0、 v0， 質(zhì)點的狀態(tài)變化由牛頓運(yùn)動方程求出 一 引進(jìn)方程的基本考慮 ? 要求 : ? 線性方程 (態(tài)疊加原理的直接要求 ) ? 系數(shù)也不含狀態(tài)參數(shù) ? t與 x,y,z均為變量 =只能是偏微分方程 ? 解的唯一性 量子力學(xué)：微觀粒子的運(yùn)動狀態(tài)由波函數(shù)來描寫，狀 態(tài)隨時間的變化遵循著一定的規(guī)律 ? 進(jìn)入方程式 ,體現(xiàn)微觀世界的特點 (量子化 ) ? 0,過渡到牛頓方程 二 自由粒子滿足的方程 不是所要尋找的方程，因為它包含狀態(tài)參量 E 。將Ψ 對坐標(biāo)二次微商，得： ）（ 1???????????? EtiEit ???????? ???? )(e x p EtrpiA ???自由粒子波函數(shù) : 應(yīng)是所要建立的方程的解。對 t微商 ，?????????????? ???2222)(???xxEtzpypxpipxpiAexxzyx?????? ???? ???? ?? ][1 2222222222 zyx pppzyx ?????????????22222222??zypzpy同理有)2(221222222 ????????????pp ?? 或???????? )2()2(222??pEti??討論： 通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果能量關(guān)系式 E = p2/2μ 寫成如下方程形式： ????????????????????2222 ?4????????ppipptiE）（做算符替換（ 4）即得自由粒子滿足的方程（ 3）。 ）（所以 32 22??????? ??? ti?22pE ?對自由粒子，0)2( 2 ??? ?pE返回 三 勢場 V(r) 中運(yùn)動的粒子 該方程稱為 Schrodinger 方程，也常稱為波動方程 。 量。算符，亦常稱為是體系的式中 H a m i l t o nH a m i l t o nHtrHtrrVtrti?),(?),()](2[),(22?????????????????若粒子處于勢場 V(r) 中運(yùn)動，則能動量關(guān)系變?yōu)椋? HrVpE ??? )(22 ?? ???? )](2[2rVpE ??四 多粒子體系的 Schrodinger 方程 設(shè)體系由 N 個粒子組成， 質(zhì)量分別為 體系波函數(shù)記為 第 i個粒子所受到的外場 粒子間的相互作用 則多粒子體系的 Schrodinger 方程可表示為： )。,(),()](2[)。,(211212221trrrrrrVrUtrrrtiNNiNiiiiN????????????????????????????????? ?)。. . . ,( 21 trrr N????)。. . . ,( 21 trrrU Ni ???)...,( 21 NrrrV ???). . . ,( 21 Ni rrr ????多粒子體系 Hamilton 量 ?? ??Zji jiZ rrerrrV||),(221 ??????iii rZerU 2)( ???對有 Z 個電子的原子，電子間相互作用為 Coulomb 排斥作用： 而原子核對第 i 個電子的 Coulomb 吸引能為： 假定原子核位于坐標(biāo)原點，無窮遠(yuǎn)為勢能零點。 ???????NiNiiiirrrVrUH12122),()](2[? ???????例如： 167。 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律 一、定域幾率守恒 二、再論波函數(shù)的性質(zhì) 一、 定域幾率守恒 ? 考慮低能非相對論實物粒子情況，因沒有粒子的產(chǎn)生和湮滅問題，粒子數(shù)保持不變。對一個粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應(yīng)不隨時間改變，即 2|),(|),(),(),( trtrtrtr ???? ????? ??0),( ?? ??? ?? dtrdtd ?在討論了狀態(tài)或波函數(shù)隨時間變化的規(guī)律后，我們進(jìn)一步討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時間變化。粒子在 t 時刻 r 點周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度是： 證： – 考慮 Schrodinger 方程及其共軛式： )1(]2[ 22???????? Vti ???)2(]2[ 22?? ????????? Vti ???式得：將 )2()1( ????? ?][2 222???? ??????????????????????titi][22?????????????? ??? ??? ）（ti在空間閉區(qū)域 v中將上式積分，則有： ][22?????????????? ??? ??? ）（ti??? dddtdiVV][22???????????? ??? ?? ?? ）（??? diddtd VV ][2 ????????????? ??? ?? ?）（??? dJdtrdtdVV?? ???? ?? ),(][2 ???????? ????? iJ0?????? Jt ??J是幾率流密度，是一矢量 。 上式是幾率（粒子數(shù)）守恒的積分表示式。 令 上式 τ 趨于 ∞ ，即讓積分對全空間進(jìn)行，考慮到任何真實的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處為零， ?? ? 0),( ?? dtrdtd ?的表面。是體積 VStrSdJdtrdtdS?????????),(),(????????Sd?S ?