高中數學基本初等函數考點分析(已修改)

　

【正文】 第 1 頁 共 29 頁 普通高中課程標準實驗教科書 — 數學 [人教版 ] 高三新 數學 第一輪復習教案（講座 4） — 基本初等函數 一．課標要求 1．指數函數 （ 1）通過具體實例（如細胞的分裂，考古中所用的 14C 的衰減，藥物在人體內殘留量的變化等），了解指數函數模型的實際背景； （ 2）理解有理指數冪的含義，通過具體實例了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算。 （ 3）理解指數函數的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數函數的圖象，探索并理解指數函數的單調性與特殊點； （ 4）在解決簡單實際問題的過程中，體會指數函數是一類重要的函數模型。 2． 對數函數 （ 1）理解對數的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數；通過閱讀材料，了解對數的發現歷史以及對簡化運算的作用； （ 2）通過具體實例，直觀了解對數函數模型所刻畫的數量關系，初步理解對數函數的概念，體會對數函數是一類重要的函數模型；能借助計算器或計算機畫出具體對數函數的圖象，探索并了解對數函數的單調性與特殊點； 3．知道指數函數 xay? 與對數函數 xy alog? 互為反函數（ a＞ 0， a≠ 1）。 二．命題走向 指數函數、對數函數、冪函數是三類常見的重要函數，在歷年的高考題中都占據著重要的地位。從近幾年的高考形勢來看，對指數函數、對數函數、冪函數的考查，大多以基本函數的性質為依托，結合運算推理，能運用它們的性質解決具體問題。為此，我們要熟練掌握指數、對數運算法則，明確算理，能對常見的指數型函數、對數型函數進行變形處理。 預測 20xx 年對本節的考察是： 1．題型有兩個選擇題和一個解答題； 2．題目形式多以指數函數、對數函數、冪函數為載體的復合函數來考察函數的性質。同時它們與其它知識點交匯命題，則難度會加大。 三．要 點精講 1．指數與對數運算 （ 1）根式的概念： ①定義：若一個數的 n 次方等于 ),1( ??? Nnna 且 ，則這個數稱 a 的 n 次方根。即若 axn? ，則 x 稱 a 的 n 次方根 )1 ??? Nnn 且 ， 1）當 n 為奇數時， na的 次方根記作 na ； 2）當 n 為偶數時，負數 a 沒有 n 次方根，而正數 a 有兩個 n 次方根且互為相反數，第 2 頁 共 29 頁 記作 )0( ?? aan 。 ②性質： 1） aa nn ?)( ； 2）當 n 為奇數時， aan n ? ； 3）當 n 為偶數時，??? ?? ??? )0( )0(|| aaaaaan。 （ 2）．冪的有關概念 ①規定： 1） ????? naaaa n (? N*； 2） )0(10 ?? aa ； n 個 3） ??? paa pp (1Q， 4） maaa n mnm ,0( ?? 、 ?n N* 且 )1?n 。 ②性質： 1） raaaa srsr ,0( ??? ? 、 ?s Q）； 2） raaa srsr ,0()( ?? ? 、 ?s Q）； 3） ?????? rbababa rrr ,0,0()( Q）。 （注）上述性質對 r、 ?s R 均適用。 （ 3）．對數的概念 ①定義：如果 )1,0( ?? aaa 且 的 b 次冪等于 N，就是 Nab? ，那么數 b 稱以 a 為底 N 的對數，記作 ,log bNa ? 其中 a 稱對數的底， N 稱真數。 1）以 10 為底的對數稱常用對數， N10log 記作 Nlg ； 2）以無理數 )( ??ee 為底的對數稱自然對數， Nelog ，記作 Nln ； ②基本性質： 1）真數 N 為正數（負數和零無對數）； 2） 01log ?a ； 3） 1log ?aa ； 4）對數恒等式： Na Na ?log 。 ③運算性質：如果 ,0,0,0,0 ???? NMaa 則 1） NMMN aaa lo glo g)(lo g ?? ； 第 3 頁 共 29 頁 2） NMNM aaa logloglog ??； 3） ?? nMnM ana (lo glo g R）。 ④換底公式： ),0,1,0,0,0(l ogl ogl og ?????? NmmaaaNN mma 1） 1loglog ?? ab ba ； 2） bmnb ana m loglog ?。 2．指數函數與對數函數 （ 1）指數函數： ①定義：函數 )1,0( ??? aaay x 且 稱指數函數， 1）函數的定義域為 R； 2）函數的值域為 ),0( ?? ； 3）當 10 ??a 時函數為減函數，當 1?a 時函數為增函數。 ②函數圖像： 1）指數函數的圖象都經過點（ 0， 1），且圖象都在第一、二象限； 2）指數函數都以 x 軸為漸近線（當 10 ??a 時，圖象向左無限接近 x 軸，當 1?a 時，圖象向右 無限接近 x 軸）； 3）對于相同的 )1,0( ?? aaa 且 ，函數 xx ayay ??? 與 的圖象關于 y 軸對稱。 ③函數值的變化特征： 10 ??a 1?a ① 100 ??? yx 時 ， ② 10 ?? yx 時 ， ③ 10 ?? yx 時 ① 10 ?? yx 時 ， ② 10 ?? yx 時 ， ③ 100 ??? yx 時 ， 第 4 頁 共 29 頁 （ 2）對數函數： ①定義：函數 )1,0(lo g ??? aaxy a 且稱對數函數， 1）函數的定義域為 ),0( ?? ； 2）函數的值域為 R； 3）當 10 ??a 時函 數為減函數，當 1?a 時函數為增函數； 4）對數函數 xy alog? 與指數函數 )1,0( ??? aaay x 且 互為反函數。 ②函數圖像： 1）對數函數的圖象都經過點（ 0， 1），且圖象都在第一、四象限； 2）對數函數都以 y 軸為漸近線（當 10 ??a 時，圖象向上無限接近 y 軸；當 1?a時，圖象向下無限接近 y 軸）； 4）對于相同的 )1,0( ?? aaa 且 ，函數 xyxyaa 1loglog ?? 與的圖象關于 x 軸對稱。 ③函數值的變化特征： 四．典例解析 題型 1：指數運算 10 ??a 1?a ① 01 ?? yx 時 ， ② 01 ?? yx 時 ， ③ 010 ??? yx 時 . ① 01 ?? yx 時 ， ② 01 ?? yx 時 ， ③ 100 ??? yx 時 . 第 5 頁 共 29 頁 例 1． （ 1）計算： ])()()()945()833[( ???? ???； （ 2）化簡：5 33 2332323323134)2(248aaaaabaaabbbaa???????? ?。 解：（ 1）原 式 = 41322132 )10000625(]10 2450)81000()949()278[( ????? 922)2917(21]10 2425 1253794[ ???????????； （ 2）原式 =51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(aaaaababbaabaa????????? 23231616531313131312)2( aaaaaabaabaa ????????? 。 點評：根式的化簡求值問題就是將根式化成分數指數冪的形式，然后利用分數指數冪的運算性質求解，對化簡求值的結果，一般用分數指數冪的形式保留；一般的進行指數冪運算時，化負指數為正指數，化根式為分數指數冪，化小數為分數運算，同時兼顧運算的順序。 例 2． 已知 11223xx???，求 22332223xxxx??????的值 。 解：∵ 11223xx???， ∴ 11222( ) 9xx???， ∴ 129xx?? ? ? ， ∴ 1 7xx???， ∴ 12( ) 49xx???， 第 6 頁 共 29 頁 ∴ 2247xx???， 又∵ 3 3 1 1 12 2 2 2( ) ( 1 ) 3 ( 7 1 ) 1 8x x x x x x?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ∴ 2233222 4 7 2 31 8 33xxxx??? ? ??????。 點評：本題直接代入條件求解繁瑣，故應先化簡變形，創造條件簡化運算。 題型 2：對數運算 例 3．計算 （ 1） 2( lg 2) lg 2 lg 50 lg 25? ? ?；（ 2） 3 9 4 8( l og 2 l og 2) ( l og 3 l og 3 )? ? ?； （ 3）)2( lg8 0 0 0lg5lg 23???? 。 解：（ 1） 原式 22( l g 2 ) ( 1 l g 5 ) l g 2 l g 5 ( l g 2 l g 5 1 ) l g 2 2 l g 5? ? ? ? ? ? ? ? (1 1 ) l g 2 2 l g 5 2( l g 2 l g 5 ) 2? ? ? ? ? ?； （ 2） 原式 l g 2 l g 2 l g 3 l g 3 l g 2 l g 2 l g 3 l g 3( ) ( ) ( ) ( )l g 3 l g 9 l g 4 l g 8 l g 3 2 l g 3 2 l g 2 3 l g 2? ? ? ? ? ? ? ? 3 lg 2 5 lg 3 52 lg 3 6 lg 2 4? ? ?； （ 3）分子 = 3)2lg5( l g2lg35lg3)2( l g3)2lg33(5lg 2 ?????? ； 分母 = 41006lg26lg101100036lg)26(l g ???????； ?原式 = 43 。 點評：這是一組很基本的對數運算的練習題，雖然在考試中這些運算要求并不高，但是數式運算是學習數學的基本功，通過這樣的運算練習熟練掌握運算公式、法則，以及學習數式變換的各種技巧。 例 4． 設 a 、 b 、 c 為正數，且滿足 2 2 2a b c??新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/ 第 7 頁 共 29 頁 （ 1）求證：22l o g (1 ) l o g (1 ) 1b c a cab??? ? ? ?； （ 2）若4log (1 ) 1bca???，8 2log ( ) 3a b c? ? ?，求 a 、 b 、 c 的值 。 證明：（ 1）左邊2 2 2l o g l o g l o g ( )a b c a b c a b c a b ca b a b? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2( ) 2 2l o g l o g l o g l o g 2 1a b c a a b b c a b c ca b a b a b? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?； 解：（ 2）由4log (1 ) 1bca???得 14bca???， ∴ 30abc? ? ? ? ?????① 由8 2log ( ) 3a b c? ? ?得 2384a b c? ? ? ????? ?????② 由① ? ②得 2ba????????????????③ 由①得 3c a b??，代入 2 2 2a b c??得 2 (4 3 ) 0a a b??， ∵ 0a? ， ∴ 4 3 0ab??????????????④ 由③、④解得 6a? ， 8b? ，從而 10c?