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函數近似計算的插值法neton插值(已修改)

2025-08-21 20:29 本頁面

　

【正文】第五章函數近似計算的插值法 Newton插值法 167。均差（也稱為差商）是數值方法中的一個重要概念，它可以反映出列表函數的性質，并能對Lagrange插值公式給出新的表達形式，這就是Newton插值。一、均差二、 Newton插值公式三、等距節點的 Newton插值公式四、 Newton插值算法 Newton插值法 167。)(xlj ??? ??? njii ijixxxx0 )()( nj ,2,1,0 ??我們知道 ,Lagrange插值多項式的插值基函數為形式上太復雜 ,計算量很大 ,并且重復計算也很多由線性代數的知識可知 ,任何一個 n次多項式都可以表示成 ,1 ,0xx? ),)(( 10 xxxx ?? )())(( 110 ???? nxxxxxx ?,?共 n+1個多項式的線性組合那么，是否可以將這 n+1個多項式作為插值基函數呢？引入差商和差分的目的 ,1 ,0xx? ),)(( 10 xxxx ?? )())(( 110 ???? nxxxxxx ?,?顯然，多項式組線性無關，因此，可以作為插值基函數 ,ix設插值節點為 nif i ,1,0, ??函數值為1,2,1,0,1 ???? ? nixxh iii ?ii hh m a x?nifxP ii ,1,0,)( ???插值條件為)())(())(()()(110102020????????????nn xxxxxxaxxxxaxxaaxP??具有如下形式設插值多項式 )( xPnifxPxP ii ,1,0,)()( ???應滿足插值條件000 )( afxP ??有 )()( 011011 xxaafxP ????00 fa ?01011 xxffa???))(()()( 12022021022 xxxxaxxaafxP ???????12010102022 xxxxffxxffa???????再繼續下去待定系數的形式將更復雜為此引入差商和差分的概念一、差商 (均差 ) 定義 1. nifxxfii ,1,0,)( ??處的函數值為在互異的節點設稱 )(],[ jixx ffxxfjijiji ????( ) , ( ) ( ) 。ijf x x x為關于節點一階差商均差平均變化率)(],[],[],[ kjixx xxfxxfxxxfjkjikikji ?????( ) , ,i j kf x x x x為關于的二階差商 ( 均差 ), 它是由 1 階均差再作一次差商所得。依此類推 ],[ 110 kk iiii xxxxf ??階差商的關于節點為 kxxxxxf kk iiii ,)( 110 ??],[

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