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第十七章變分法-wenkub

2022-08-29 13:26:13 本頁(yè)面

　

【正文】參數(shù) 到泛函值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此泛函就成為了參數(shù) 的普通函數(shù)．原來(lái)泛函的極值問(wèn)題就成為普通函數(shù)對(duì) 的求極值的問(wèn)題．同時(shí)，函數(shù)曲線的變分定義為 () 因此可得 () 這里代表對(duì) 求一階導(dǎo)數(shù)．所以 () 即變分和微分可以交換次序．泛函的變分定義泛函的變分泛函的增量變分問(wèn)題泛函的變分定義為 () 在極值曲線附近，泛函的增量，定義為 () 依照上述約定，當(dāng) 時(shí)，泛函增量的線性主要部分定義為泛函的變分，記為 () 在求一元或多元函數(shù)的極值時(shí)，微分起了很大的作用；同樣在研究泛函極值問(wèn)題時(shí)，變分起著類(lèi)似微分的作用．因此，通常稱泛函極值問(wèn)題為變分問(wèn)題；稱求泛函極值的方法為變分法．例計(jì)算泛函的變分【解】注意：最后一步利用了一般在邊界上函數(shù)變分為零的事實(shí)，即 19． 2 泛函的極值泛函的極值問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)是比較復(fù)雜的．因?yàn)樗? 與泛函包含的自變量個(gè)數(shù)，未知函數(shù)的個(gè)數(shù)以及函數(shù)導(dǎo) 數(shù)的階數(shù)等相關(guān)．另外，在求泛函極值時(shí)，有的還要加約束條件，且約束條件的類(lèi)型也有不同，等等．下面我們首先討論泛函的極值的必要條件．泛函的極值的必要條件 ――歐拉－拉格朗日方程設(shè) 的極值問(wèn)題有解（）現(xiàn)在推導(dǎo)這個(gè)解所滿足的常微分方程，這是用間接法研究泛函極值問(wèn)題的重要一環(huán) ．設(shè)想這個(gè)解有變分則可視為參數(shù) 的函數(shù) 而當(dāng) 時(shí)，對(duì)應(yīng)于式 (),即為取極值．于是原來(lái)的泛函極值問(wèn)題，就化為一個(gè)求普通函數(shù) 的極值問(wèn)題．由函數(shù) 取極值的必要條件，有即有（），一個(gè)函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù) 的積分形式泛函表示為一個(gè)自變量，一個(gè)函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的積分形式，即（）若考慮兩端固定邊界的泛函問(wèn)題：積分是在區(qū)域內(nèi)通過(guò)兩點(diǎn) 的任意曲線進(jìn)行的，其中泛函中為由于兩端固定，所以要求，即．由 ()，有（）式 ()的積分號(hào)下既有，又有，對(duì)第二項(xiàng) 應(yīng)用分部積分法可使積分號(hào)下出現(xiàn) () 根據(jù)（） ,所以 ,再根據(jù) （）故有（）因?yàn)? 并且是任意的，所以 () 上式 ()稱為歐拉（ Euler）－拉格朗日（ Lagrange）方程，簡(jiǎn)稱為 EL方程．此即泛函取極值的必要條

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