高一數學函數的最值(文件)

　

【正文】 ? ∵ b＞ 1， ∴ b＝ 3. ? (2)本題要注意數學符號表達的含義 ， 不妨將問題具體化 ． “ 若 x∈ A時 ， f(x)∈ A” 就是 “ 若 x∈ [1， b]時 f(x)∈ [1， b]” ， 這樣就降低了題目的難度 ． ? (3)有關二次函數的問題 ， 要特別注意二次函數的對稱軸是否在給定的區間上 ？ 應該截取二次函數圖象的哪一部分 ？ 從而解決問題 ． 總結評述： ( 1) 函數 y ＝ x 和 y ＝ x － 1 這兩部分在公共區間上的單調性必須一致，同時為增函數，或同時為減函數，才能判斷函數 y ＝ x ＋ x － 1 的單調性，本題實質上利用了 “ 兩個增函數的和是增函數 ” 這個結論． ? [答案 ] (1)0 (2)[1,2] ( 1) 函數 y ＝ 1 － x2 ( － 1 ≤ x ≤ 0) 的 最小值為________ ． ( 2) 已知函數 f ( x ) ＝ x2－ 2 x ＋ 3 在 [0 ， a ] 上的最大值是 3 、最小值是 2 ，則實數 a 的取值范圍是 ________ ． ? (2)由 f(x)＝ (x－ 1)2＋ 2可知 ， f(1)＝ 2， ? 又 f(0)＝ 3， f(2)＝ 3， 且當 x2時 ， f(x)3， ? ∴ 1≤a≤2. [ 解析 ] ( 1) ∵ y ＝ 1 － x2在 [ － 1,0] 上為增函數， ∴ 當 x＝－ 1 時， y m in ＝ 0. ? [例 4] 把長為 12厘米的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是 ? ( ) A.323 cm2 B ． 4c m2 C ． 3 2 cm2 D ． 2 3 cm2 [ 解析 ] 設其中一段長為 3 x ，則另一段為 12 － 3 x ，則所折成的正三角形的邊長分別為 x, 4 － x ，它們的面積分別為34x2，34(4 － x )2，則它們的面積之和為 S ＝34x2＋34(4 － x )2＝34(2 x2－ 8 x ＋ 16) ＝32[( x － 2)2＋ 4] ，可見當 x ＝ 2 時，兩個正三角形的面積之和取最小值 2 3 cm2，故選 D. ? 等腰梯形 ABCD的兩底分別為 AD＝ 2a， BC＝ a， ∠ BAD＝ 45176。a2(2 a ＋ a ) －12(2 a － x )2 ＝3 a24－12(4 a2－ 4 ax ＋ x2) ＝－12x2＋ 2 ax －5 a24 ??????32a x ≤ 2 a . ? *[例 5] (1)設函數 f(x)＝ x2－ 2x＋ 2(其中x∈ [t， t＋ 1]， t∈ R)的最小值為 g(t)， 求 g(t)的表達式； ? (2)求 f(x)＝ x2－ 2ax－ 1在區間 [0,2]上的最大值和最小值 ． ? [分析 ] 二次函數在閉區間 [m， n]上既有最大值 ， 也有最小值 ． 一種情形是不含參數 ， 可直接由對稱軸及開口方向確定在 [m，n]上的單調情況而得出結論； ? 一種情形是軸定區間動，如本例 (1)，這時需分閉區間在軸左邊、右邊和包含軸三種情形討論；一種情形是軸動區間定，如本例 (2)，同樣分以上三種情形討論 (軸與區間都含參數的情況我們不作要求 )解決這一類問題的方法都是借助圖象，結合單調性，考察參數在三種情形下的變化而得出結論． ? [解析 ] (1)f(x)＝ x2－ 2x＋ 2＝ (x－ 1)2＋ 1， ? ① 當 t＋ 1≤1， 即 t≤0時 ， f(x)在 [t， t＋ 1]上單調減 ， ? ∴ g(t)＝ f(t＋ 1)＝ t2＋ 1； ? ② 當 t≤1＜ t＋ 1， 即 0＜ t≤1時 ， f(x)在頂點處取最小值 ， ? ∴ g(t)＝ f(1)＝ 1(見下圖 )； ? ③ 當 t＞ 1時 ， f(x)在 [t， t＋ 1]上單調增 ， ? ∴ g(t)＝ f(t)＝ t2－ 2t＋ 2. ? 綜上可知 ， g ( t ) ＝????? t2＋ 1 ( t ≤ 0 ) ，1 ( 0 ＜ t ≤ 1 )t2－ 2 t ＋ 2 ( t ＞ 1 ) . ? (2)f(x)＝ (x－ a)2－ 1－ a2， 對稱軸為 x＝ a. ? ① 當 a＜ 0時 ， 由下圖可知 ， f(x)在 [0,2]上單調增 ， ? ∴ f(x)min＝ f(0)＝－ 1， ? f(x)max＝ f(2)＝ 3－ 4a. ? ② 當 0≤a＜ 1時 ， 由下圖可知 ， f(x)在 [0， a]上單減 ， 在 [a,2]上單增 ， 且 2－ aa－ 0， ? ∴ f(x)min＝ f(a)＝－ 1－ a2， ? f(x)max＝ f(2)＝ 3－ 4a. ? ③ 當 1＜ a≤2時 ， 由下圖可知 ， f(x)在 [0， a]上單減在 [a,2]上單增 ， 且 2－ aa－ 0， ? ∴ f(x)min＝ f(a)＝－ 1－ a2， f(x)max＝ f(0)＝－1. ? ④ 當 a＞ 2時 ， 由下圖可知 ， f(x) 在 [0,2]上遞減 ， ? ∴ f(x)min＝ f(2)＝ 3－ 4a， f(x)max＝ f(0)＝－ 1. ? 總結評述： (1)從運動的觀點來看 ， 令區間 [t， t＋ 1]從左向右沿 x軸正方向運動 ，截取拋物線上的相應部分 ． 共截取三