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ch1-3-數字特征與極限定理(文件)

2025-08-22 08:51 上一頁面

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【正文】 : X ( ... ) ... D X ( ... ) ...ii i i innnnXX X X p D X p pX X XE E X X X E X E X E X npD X X X D X D X???? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?第次試驗發生令否則則為兩點分布 . 相互獨立 E故( 1 ) nD X np p? ? ?本例中 X的分布稱為二項分布 ,記為 X~B(n,p) .0:不相關與稱，的相關系數為與若隨機變量定義????12 ( , ) 0( 3 ) ( 4 ) ( )Co vE E ED D D??????? ? ? ?? ? ? ???? ? ?定理：對隨機變量與下列命題是等價的。 ? EX 不存在。記為 E X( ) 或 EX 。8/21/2022 例 1. 甲、乙兩人進行打靶，所得分數分別記為 X 1 、X2 它們的分布律分別為X1 0 1 2X2 0 1 2pk 0 0 . 2 0 . 8pk 0 . 6 0 . 3 0 . 1試評定他們的成績的好壞。即 E X( ) = x piii???1。定義：設連續型隨機變量 X 的概率密度為 ? ( )x ，若積分 x x dx? ( )? ??? 絕對收斂（即 | | ( )x x dx?? ??? 存在），則稱積分 x x dx? ( )? ??? 的值為隨機變量 X的數學期望。解：盡管 21( 1 )x d xx????? ? ?? ＝０因為? ?? ?? ?| |xxdx1 2發散，即? ?? ?? ?xxdx1 2不絕對收斂。證明： DX E X EX? ?( ) 2))(2( 22 EXEXXXE ????22 )(2 EXEXEXEX ???? 22 )( EXEX ??性質 2 ) 2()D aX b a DX?? 222 2 2: ( ) [ ( ) ( ) ] = [ ] = [ ( ) ] =D a X b E a X b E a X bE a X b a E X bE a X E X a D X? ? ? ? ?? ? ??證明性質 3 ) DXCXE ?? 2)( , 等號當且僅當 EXC ? 時成立 . 22 1 ) ( )D X E X E X??性質方差的性質例 4. 稱隨機變量： Y X EXDX?? 為隨機變量 X 標準化，證明 : EY ? 0 ， DY ? 1 . 注意到 EX, DX 都是數，根據期望和方差的性質易得例 5 設 , X 服從兩點分布即 X 0 1 P 1p p D X求方差解： EX= 0*（ 1p） +1*p = p DX = 2 2 2 2 2( ) [ 0 ( 1 ) 1 ] ( 1 )E X E X p p p p p? ? ? ? ? ? ? ? ?解： EX 2 ? ??? abx b a dx2 1 ? ?133( )b axab ???b ab a3 33 ( ) ,322 baba ??? 所以， DX EX EX? ?2 2( ) ?? ?????????a ab b a b2 2 23 2?? ???a ab b a b2 2 2212 12( )2baEX ??例 6 ：已知隨機變量 ~ ( , )X U a b , 即密度函數為 : ? ( ),x b aa x b? ?? ??????10 其它, 求隨機變量 X 的方差 . 證明 : EX ? ?? ?? ? ? ?? x e dxx12222? ???

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