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高一數(shù)學(xué)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式(文件)

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【正文】【例 3 】已知 s i n ( π － α ) － c o s ( π ＋ α ) ＝23(π2 α π ) ．求下列各式的值： ( 1 ) s in α － c o s α ； ( 2 ) s in3(π2－ α ) ＋ c o s3(π2＋ α ) ．思路點(diǎn)撥： ( 1 ) 運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知條件可得 s in α ＋ c o s α ＝23，再對(duì)其兩邊平方，得2 s i n α c o s α ＝ 1 － ( －79) ＝169， ∴ s in α － c o s α ＝43. ( 2 ) s in3(π2－ α ) ＋ c o s3(π2＋ α ) ＝ c o s3α － s i n3α ＝ ( c o s α － s i n α )( c o s2α ＋ c o s α c o s α ＝12[ ( s i n α ＋ c o s α ) 2 － 1] ＝12[1 － ( s i n α － co s α ) 2 ] ，運(yùn)用此結(jié)論，可“ 知一求二 ” 【例 1 】 ( 2 0 1 0 年高考全國(guó)卷 Ⅰ ) 記 c o s ( － 8 0 176。＝ k ， ∴ s in 8 0 176。＝1 － k2k， ∴ ta n 1 0 0 176。＝－1 － k2k，故選 B. 【例 2 】 ( 2 0 1 1 年安徽合肥市模擬 ) 已知 s i n α 是方程 5 x 2 － 7 x － 6 ＝ 0 的一個(gè)根，且 α 是第三象限角，則s i n ? － α －3π2? c o s ?3π2－ α ? c o s α＝－ t a n2α ＝－916. 答案：－916 【例 3 】 ( 2020 年濟(jì)南市模擬 ) 在 △ ABC 中，若 s i n ( 2π － A ) ＝－ 2 s i n ( π － B ) ， 3 co s A ＝－ 2 co s ( π － B ) ，則角 C 等于 ( ) ( A )56π ( B )π6 ( C )π12 ( D )7π12 解析：由已知得??? s in A ＝ 2 s in B ，3 c o s A ＝ 2 c o s B . ①② ①2＋ ②2得 2 c o s2A ＝ 1 ，即 c o s A ＝ 177。 c o s θ ＝s in θ c o s θs in2θ ＋ c o s2θ＝tan θ1 ＋ ta n2θ＝－34，解得 ta n θ ＝－ 3 或 ta n θ ＝－33. 由于 θ ∈ ( 0 ， π ) ， 0 s in θ ＋ c o s θ ＝12( 3 － 1 ) 1 ， ∴ θ ∈ (π2， π ) ， ∴ | s in θ | | c o s θ |， ∴ | tan θ | 1 ，即 θ ∈ (π2，34π ) ， ∴ ta n θ － 1 ， ∴ ta n θ ＝－33，舍去．故 ta n θ ＝－ 3 ，故應(yīng)選 C. 法二：由 s in θ ＋ c o s θ ＝3 － 12，兩邊平方得 s in θ c o s θ ＝2 m － 14，Δ ＝ 16 ? m2－ 2 m ＋ 1 ? ≥ 0 ，代入 ( s in θ ＋ c o s θ )2＝ 1 ＋ 2 s in θ c o s θ ＝－34，又 ∵3π2 θ 2 π ， ∴ s in θ ＝－32， c o s θ ＝12， ∴ θ ＝5π3. 10 ．已知 c o s ( π6 － α ) ＝ 33 ，求 c o s ( 5π6 ＋ α ) － c o s 2 ( π3 ＋ α ) 的值．解： ∵5π6＋ α ＝ π － (π6－ α ) ，π3＋ α ＝π2－ (π6－ α ) ， ∴ c o s (5π6＋ α ) － c o s2(π3＋ α ) ＝ c o s [ π － (π6－ α )] － c o s2[π2－ (π6－ α )] ＝－ c o s (π6－ α ) － s i n2(π6－ α ) ＝－ c o s (π6－ α ) － [ 1 － c o s2(π6－ α )] ＝－33－ 1 ＋ (33)2＝－2 ＋ 33. 返回目錄備考指南考點(diǎn)演練典例研習(xí) 基礎(chǔ)梳理。 32，又3π2 θ 2 π ， ∴ s i n θ c o s θ ＝ 1 ＋32＝4 ＋ 2 34＝ (3 ＋ 12)2 ∵ θ ∈ ( 0 ， π ) ， s in θ ＋ c o s θ ＝12( 3 － 1 ) 1 ， ∴ θ ∈ (π2， π ) ， ∴ s in θ － c o s θ 0 ， ∴ s in θ － c o s θ ＝3 ＋ 12

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