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第十七章變分法-全文預覽

2025-08-22 13:26 上一頁面

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【正文】，即和兩個積分常數．它們可由條件（）來確定 . 和附加條件例求的極值，其中是歸一化的，即，且已知【解】本題是求泛函的條件極值問題，可化為變分問題對應的 EL方程為其通解為代入附加條件得到代入歸一化條件得到于是得到，故原極值問題的解為而題中要求的泛函的極值為當時，極值函數使得泛函數取得最小值例求泛函在條件下的極值曲線 . 【解】此時 ,則偏導數 .對應的 Euler方程為其通解為 ,代入邊界條件可得 ,所以極值曲線為泛函極值問題的典型應用泛函極值問題的求解 ,通常有兩種結果：（ i）解析解由變分法得到的 EL方程求解，一般來說，是很困難的．但在分析力學中往往還是采用這一辦法來求解．因為歷史悠久，它自有一套辦法．（ ii）近似解所謂近似解即由泛函本身出發，而不需求解 EL方程，直接求得所需要的解 —— 極值曲線因此，常常稱它為研究泛函極值問題的直接法．下面我們以一個典型的實例來描述泛函的極值問題在數學物理問題中的應用 . 例假設大氣的光折射率只依賴于高度（ 1）利用費馬（ Fermat）原理導出在大氣中光線軌跡的微分方程；（ 2）設有一與水平成角度的方向上拋出的球，如果，其中被拋出多遠？為常數，試求此球【解】（ 1）根據費馬原理：光線的實際路徑上，光程的變分為零．（）其中為介質中的光折射率，元．上述問題也可表示為如下泛函極值問題：為沿光線進行方向的路程（）由于不顯含，根據公式 ()，可得首次積分（）其中為常數，若為路徑的切線和鉛垂線所構成的角度，即（）若如果折射率是位置的連續函數，這意味著沿著路徑是一常數．若應用到分界面上，就得到光學中的折射定律（ Snell’s law）（）在大氣中光線軌跡的微分方程，由公式 ()得到（） (2) 由題中條件和圖，定義球的軌跡的最高高度為，即圖１７．２設球拋出的距離為，由公式（）得到（）故利用公式（），有解得（）。第十七章變分法從前面的定解問題的解法中，我們容易想到由于

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