20xx全國數學建模比賽獲獎論文-預覽頁

　

【正文】 因素進行定量分析，使得問題考慮得更加全面。數據的收集和分析是建模分析的基礎和重要組成部分。高等教育屬于非義務教育，其經費在世界各國都由政府財政撥款、學校自籌、社會捐贈和學費收入等幾部分組成。如今高等教育學費已成為社會關注的重要問題。 1977 年高等教育恢復招生至今，高等教育收費大致經歷了三個階段 ： 即從 1977 年至 1983 年免費教育階段 ； 從 1984 年至 1996 年的雙軌制階段 ； 從 1997 年至今 的并 軌全部收費階段。 最后， 從 “確定學校聲譽對學費的影響”、“高校事業經費撥款”等方面對 新 模型做了進一步的討論，從而提出了 可供 研究 的 方向，還對模型與建模分析的方法進行了科學性分析，并根據求解結果對政府和學校分別提出了建議。 在評價現有高等教育學費模型之前，本文先對影響學費的主要因素如生均教育成本、人均 GDP、公共高校教育經費占 GDP 百分比等進行分析；然后對這些主要因素進行數據收集，在此基礎上挖掘出了現有學費模型的 線性回歸方程，并利用差分進化法進行求解；在模型求解的前 提下， 分別就不同學校和不同專業高等教育學費進行了定量分析，得到了對應的學費范圍。 我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規則，以保證競賽的公正、公平性。 我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規則的 , 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規定的參考文獻的表述方式在正文引用 處 和參考文獻中明確列出。 本文首先分析挖掘了現有高等教育學費模型，建立基于博弈論的評價體系，對現有模型給予了評價，并 提出 新高等教育學費模型，同時對其進行了仿真。 同時為了完善新高等教育學費模型，使其更 具 有可操作性，本文還 針 對和諧社會背景下高校貧困 生資助體系進行了重構。當前，人們對高等教育應當適度收費是可以理解和認可的，但是，對于目前高等教育偏高的收費標準是不解和質疑的，這說明高等教育收費制度還需要不斷地改革與完善。目前，部分高等學校的“二級獨立學院”學費已經收到 10000 元左右。培養質量是高等教育的一個核心指標，不同的學科、專業在設定不同的培養目標后，其質量需要有相應的經費保障。 現需 根據中國國情，收集諸如國家生均撥款、培養費用、家庭收入等相關數據，并據此通過數學建模的方法，就幾類學校 或專業 的學費標準進行定量分析，得出明確、有說服力的結論。 2 問題的分析與建模思路圖 問題分析 1) 現有學費制定體系的分析 現有學費制定體系受到均生教育成本、人均 GDP、 公共 高校 教育經費 占 GDP 百分比等因素的影響，所以必須找出現有學費與這些因素的關系，建立學費函數。在這里，我們嘗試用一種新的視角來分析、確定高等院校收費水平的問題，這就是高校收費水平確定的博弈分析方法；同時我們提出對于“政府、學校、個人”三方所確定的納什平衡體系作為原學費制定體系的評價模型。 4) 新體系仿真的分析 分析了影響收費的因素，最終分析、統計出各個因素數字表達以及各高校學費標準，進 而 要了解這些因素對學費影響的程度，以此為參考來制定收費指導政策。 建模思路圖 下面的思路流程圖是我們文章結構的一個縮影，它將完整而形象的反應我們文章的建模思路。 表 41 符號說明一覽表 主要符號 單位 符號意義 C 元 生均教育成本 M 元 教育投入總成本 N 個 全國大學生總數 G 元 人均 GDP B 百分比 公共高校教育經費占 GDP 百分比 m 元 標準學費 F 元 實際學費 5 現有高等教育學費模型的挖掘與分析 確定學費標準的基本因素 1) 生均教育成本 生均教育成本即生均培養成本，指平均每名在校生所分擔的教育費用。 2) 人均 GDP 學費的標準還受到大學生家庭收入的影響。在我國 ，公共 高校 教育經費支出是指 國家財政性教育經費 在高校的 支出 。在我國，在 大學生 收費構成中，個人只 8 承擔了成本的一部分，剩下的應該是由政府進行主要投入補償的，這部分的大小直接關系到最終收費的多少。根據陳雄的《學費收取標準的計算公式》 對學費進行計算得到 ? 下面我們就可以對各因素和學費 的關系建立多元線性回歸方程模型。傳統方法是用預先確定的概率分布函數決定向量擾動，而 差分進化算法 的自組織程序利用種群中兩個隨機選擇的不同向量來干擾一個現有向量，種群中的每一個向 9 量都要進行干擾。然后將變異向量的參數與另外預先確定的目標向量參數按一定規則混合來產生試驗向量，該操作稱為“交叉”。 2) 算法流程 圖 51 差分進化算法 算法流程 圖 3) .算法流程說明 (1)初始化 差分進化算法 利用 NP個維數為 D的實數值參數向量作為每一代的種群，每個個體 表示為： , ( 1, 2, , )iGx i NP? 式中： i ： 表示個體在種群中的序列； G ：表示 進化代數； NP ：表示 種群規模在最小化過程中 NP 保持不變。設參數變量的界限為： ( ) ( )LUj j jx x x?? ，則： 參數設置 初始化 變異交叉取整 自然選擇 結束條件 否 結果輸出 是 10 ( ) ( ) ( ),0 r a nd [ 0, 1] ( ) +U L Lji j j jx x x x? ? ? ( 1 , 2 , , 。變異算子 [0,2]F? 是一個實常數因數，控制偏差變量的放大作用。 (4)選擇 為決定試驗向量,1iGu ?，是否會成為下代中的成員， 差分進化算法 按照貪婪準則將試 驗向量與當前種群中的目標向量,iGx 進行比較。 (5)邊界條件的處理 在有邊界約束的問題中，確保產生新個體的參數值位于問題的可行域中是必要的，一個簡單方法是將不符合邊界約束的新個體用在可行域中隨機產生的參數向量代替。首先對 高校教育經費占 GDP 百分比 B 進行研究 。 1996 1997 1998 1999 2020 2020 2020 2020 2020 20200 . 3 90 . 40 . 4 10 . 4 20 . 4 30 . 4 40 . 4 50 . 4 60 . 4 70 . 4 80 . 4 9時間實際生均學費占人均GDP百分比 圖 52 實際生均學費占人均 GDP百分比 接著對生均教育成本進行分析，得到 生均教育經費 每增加 1000 元，學費增加 65 元，并做 圖 53，從中可以看出生均教育成本在逐年增加，相應的學 費也隨之增加。依據教學規模的大小可以將學校劃分 為三類：一流大學、二流大學、三流大學。不同專業的生均教育成本不一樣，這也導致了不同的學費收取。在這里， 我們 嘗試用一種新的視角來分析 、 確定高等院校收費 水平 的問題。研究這種互動環境下的理性選擇的理論叫博弈論(theory of rational choices under interactions)。在這種組合下給定其他人的選擇，沒有任何人有積極性做出新的選擇 。這時，政府不可能大規模增加對高教的投資，學校因為居民高教支付能力的限制和學生資助政策的缺陷也不能再提高收費水平。這樣，一方面接受高等教育的人會減少，不能滿足社會對高素質人才的需求，阻礙社會經濟的發展；另一方面也會使高校教育資源大量閑置浪費。同時，我們也應看到，這種均衡只是一種動態的平衡，隨著人們收入水平的提高，助學措施的完善，辦學成本的提高和政府高教投資 數量的相對減 少，這種平衡必然會被打破，并在更高的水平上達到新的平衡。由于我國高等教育在相當一段時間內仍然處于供不應求的狀態，所以學校在這一博弈中亦處于有利地位。 圖 62 高校收費承諾博弈 從 上圖 可以看出，政府減少高教投資、高校提高收費、學生 (家庭 )支付學 費是最有可能出現的情況。由于我國的高校收費是與學校的辦學成本相聯系的，因而學校更愿意增加而不是減少辦學成本，從而收取更多的學費。 因而，要改變這種狀況須從改變政府、居民和高校三者之間的博弈關系人手。按世界上的通行做法，以社會上第 5個 10等分組居民的支付能力作為高校收費決策的最重要依據。 國家每個 10等分組的農村居民收入早總收入中所占的百分比表如 表 61所示： 表 61 1995年全國每個 10等分組的農村居民收入在總收入中所占的百分比 最低10% 第 2個10% 第 3個10% 第 4個10% 第 5個10% 第 6個10% 第 7個10% 第 8個10% 第 9個10% 第 10個10% 合計 城鄉 農村 100 17 高校經費各級政府財政撥款的博弈分析 國家法律 明確規定地方各級人民政府對實施 高等 教育的經費承擔 相應 責任 ,卻并未規定中央和省級政府對 高等 教育經費所應承擔的比例。教育經費的總供給等于這三級政府提供的教育經費總和。假定 0???iixu 、0???Gui ,且 高等 教育支出和其它公共支出之間的邊際替代率是遞減的。此時不能從各級政府自身利益出發 ,而必須從全社會的整體利益出發加以分析 ,也就是說 ,帕累托最優解是使得社會福利函數取最大值的解。雖然各級政府從自身利益出發的最優選擇導致各自的邊際替代率等于 1,但帕累托最優則要求這三級政府的邊際替代率之和等于 1。在這個假設條件下 ,中央、省級、地方政府最優的納什均衡條件為 3,2,1,11 1 ??? ? iGx Gxii ?? ???? ；即： 3,2,1, ?? iGxi ?? 將上式代入 預算約束條件 ： iii Mgx ?? ,則可以得到 ：ii MgG ????，即： iii i Mgg ????31?? ； 從而可得反應函數 ： ?? ????? ij jii igMg 3,2,1,** ?? ??? ? 從這個反應函數可以看出 ,如果某一級政府相信其它兩級政府提供的 高等 教育經費 19 越多 ,那么他自己所提供的 高等 教育經費就必然會越少。 表 62居民人均收入與大學生學費增長（清華大學本科收費標準） 年份 1998 1999 2020 城鎮居民家庭人均 /收入（元） 5425 5854 6322 農村居民家 庭人均 /收入（元） 2162 2210 2386 清華大學本科生 /收費（元） 2500 3200 4800 學費占城鎮家庭 /收入（ %） 學費占農村家庭 /收入（ %） （資料來源： 2020 年中國統計年鑒，以清華大學本科收費標準為例） 近幾年的學費所占居民可支配收入比例如 圖 63所示， 近幾年制定的學費呈穩定狀態，隨著人均 GDP 的增加學費占居民可支配收入的比例也在逐漸減小，但對于農村居民來說仍在 100%以上，這對于農村家庭幾乎是難易接受的，因此現有的學費制定體系仍存在不合理性。 2) 學費價格不完全體現學生就業后的收益的差異性。但以現實收益對現行學費標準進行衡量也不失為“合理的”。但是，按日常運行經費來計算大學生的生均 培養成本，其實是不準確的，也是不合理的，表現在 : （ 1） 因高校中人員配置不合理而造成的教育事業費開支增大部分，部分地通過學生分擔教育成本的形式轉嫁到學生身上。 表 67 高等教育成本分類 社會成本 個人成本 直接成本 簡介成本 直接成本 簡介成本 勞務性 投入成本 工資 福利費 教育使用土地、建筑吳、設備等的機會成本 學費 雜費 書籍文具費 交通費 住宿費 個人投資教育的 機會成本 食品價格補貼 社會保障 福利費 物資性 投入成本 學生獎助學金 公務費 折舊 費 修繕費 其它費用 新學費制定體系原則的提出 學費的確定終究到底是要滿足 公認的兩個原則： 一是能力支付原則 。從理論上說，誰占有國民收入，誰就應當負擔 教育資源。由于教育所具有的經濟功能，用于教育的資源是可以獲得預期的經濟與非經濟收益的一種投資。所以 原有的學費體系將對那些低收入家庭帶來嚴重的財政危機，不具有合理性。 2) 學費價格不完全體現學生就業后的收益的差異性。但以現實收益對現行學費標準進行衡量也不失為“合理的”。 學校以合理的方式方法計算大學生的生均教育成本是必要的，它能使學校的管理者明確辦學中的“經營”問題，防止損耗資源。超越上限學費的收取學費行為屬于違法收費，應當受到法律懲處。因為不同的家庭收入對學費的支付能力不同，家庭收入低的則對學費的承受力就差，這里可以用 權重人均 可支配收入 與人均 GDP來描述 ；不同的專業對學費的要求也不一樣，一般情況下，藝術類專業 理工類專業 文史類的專業，這里可以用專業系數來描述，專業的收費越高，專業系數有越高；一般情況下學費約占 標準生均教育成本的 25%，所以標準生均教育成本越高標準學費就越高；銀行最低貸款利率影響個人內部收益率， 即影響大學生現在的教育投入成本與將來的預期收益的關系，個人內部收益率越高，則大學生支付學費的愿望越強烈，否則相反；一般情況下，標準學費與大學的辦學水平成正比，大學的辦學水平可