放縮法(不等式、數列綜合應用)-預覽頁

　

【正文】 類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進行變形② 在有些關于項的不等式證明中，可向求和問題進行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。為常數，且錯誤！未找到引用源。若數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。定義錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數列，且當錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（3）設，求證：.類型二、與通項運算相關的不等式 ！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。.（1）當錯誤！未找到引用源。成等比數列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。是否為等比數列；②設錯誤！未找到引用源。、規律歸納: 常見的放縮變形：（1）錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數：錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。為等比數列，并求其通項錯誤！未找到引用源。成立？．【江蘇省常州市2018屆高三上學期武進區高中數學期中試卷】在數列錯誤！未找到引用源。其中錯誤！未找到引用源。數列錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。⑶錯誤！未找到引用源。數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。使得對于任意錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。．5．【江蘇省啟東中學2018屆高三上學期第一次月考】設數列錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。時，求證： 錯誤！未找到引用源。．6．【江蘇省泰州中學2018屆高三上學期開學考試】已知兩個無窮數列分別滿足，其中（1）若數列（2）若數列①若數列②若數列，設數列的前項和分別為的通項公式；，使得，稱數列.都為遞增數列，求數列滿足：存在唯一的正整數“墜點數列”，求 為“墜點數列”，數列為“墜點數列”.為“墜點數列”，是否存在正整數，使得，若存在，求的最大值；若不存在，．【江蘇省南京師范大學附屬中學2017屆高三高考模擬一】已知數集錯誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數集錯誤！未找到引用源。；（2）若錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。均有錯誤！未找到引用源。的取值集合；（3）記錯誤！未找到引用源。其中n∈N*．（1）若數列{an}是公差為2的等差數列，求數列{}的通項公式；（2）若存在實數λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤，求證：數列{an}是等差數列．10．已知各項不為零的數列錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的一次函數或常值函數）② 等比數列求和公式：錯誤！未找到引用源。等比”的形式④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數列的每一項裂項之后正負能夠相消，進而在求和后式子中僅剩有限項（2）與求和相關的不等式的放縮技巧：① 在數列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數列的通項公式入手② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮小（應與所證的不等號同方向）③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數列的通項公式靠攏，常見的是向等比數列與可裂項相消的數列進行靠攏。常數”的形式，所構造的等比數列的公比也要滿足錯誤！未找到引用源。即可猜想該等比數列的首項為錯誤！未找到引用源。或錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。為等比數列，求錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。的取值范圍．【答案】（1）錯誤！未找到引用源。即錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。再將錯誤！未找到引用源。.對數列錯誤！未找到引用源。定義錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數，若，求證：；錯誤！未找到引用源。則錯誤！未找到引用源。.試題解析：（1）由已知得錯誤！未找到引用源。故錯誤！未找到引用源。.（2）因為錯誤！未找到引用源。.綜合①②③得，錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。.（1）當錯誤！未找到引用源。成等比數列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。是否為等比數列；②設錯誤！未找到引用源。的取值范圍.【答案】（1）①錯誤！未找到引用源。是以錯誤！未找到引用源。不是等比數列；②錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。可推廣為：錯誤！未找到引用源。記數列錯誤！未找到引用源。（1）求證：數列錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。對于①只要錯誤！未找到引用源。為偶數時，滿足錯誤！未找到引用源。即錯誤！未找到引用源。為偶數時，②式成立，即當錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。為等差數列；⑵ 設錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。試求數列錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。的最大值為錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。；（3）錯誤！未找到引用源。的取值范圍；（3）分n是奇數、n是偶數兩種情況求出Tn，然后寫成分段函數的形式。所以錯誤！未找到引用源。時，上式成立，因為錯誤！未找到引用源。為奇數時，錯誤！未找到引用源。； 當錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。為常數．（1）是否存在數列錯誤！未找到引用源。．（3）當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。即錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。是否具有性質錯誤！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）見解析（3）錯誤！未找到引用源。而言，存在錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。.（3）由（2）可知錯誤！未找到引用源。構成數集錯誤！未找到引用源。的最小值為錯誤！未找到引用源。再將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。對任意錯誤！未找到引用源。為整數的正整數錯誤！未找到引用源。（3）見解析解：（1）設等差數列錯誤！未找到引用源。所以當錯誤！未找到引用源。都是公差為錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。時，因為錯誤！未找到引用源。的取值集合為錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。的等比數列，記公比為錯誤！未找到引用源。因為錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。(n＋2)＝錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。成等比數列，求實數錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。第三篇：放縮法證明數列不等式放縮法證明不等式設數列{an}的前n項的和Sn=43an13180。2n+1+=(4n23n)180。231。所以：229。231。2求證：（1）11+法1：數歸（兩邊都可以）法2：放縮裂項 法3：定積分放縮（2）22L+n206。1)Sn=++L+1n1+2（13++L+12n112n+1)=1+2（1312n+1)法2：數歸——加強命題：常用的放縮公式：1n(n+1)2n+n+11n+L+1n1n1n(n1)1n；n+n12nn+n+1；=nn+2n1；aba+mb+m(ba0,m0)1kk(k+1)(k1)1n+11k(k1)=249。N)234。1n+k163。2)；212n+1nk!k(k1)(k2)nan=例3：已知：1(n206。N*證明：（1）對于n206。（3）120061a1+1a2+L+1a20061。5．已知數列{an}中an=iinnn21，求證：229。2)n\229。(x)=11+x1=x1+x，當1x0時，f39。f(0)=0222。252。nn+1∴an1=n1222。++L+247。1232。1+=ln 247。+3+L+345n+1n+2246。231。248。2=n231。343180。1232。1++L+11246。3n+1248。2n+2242。+2n+1(n2,n206。N*； an{}（2）解關于數列n的不等式：an+1(sn+1+sn)4n8（3）記bn=2sn,Tn=331111Tn+++L+，證明：1 2b1b2b3bn{an}滿足：237。是公差為1的等差數列，且an+1=nn238。2)。N*).求證：an1a1a2++...+n(n206。a+ca+b12+1+?+1n＜2n。*利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡解。n+12+1(x)=+x2，求證：當a185。abbcca，b，c為△ABC的三條邊，且有a2+b2=c2，當n206。，b∈R，“因式”；a+b1+a+b163。(akak+1)ak+2.232k=1n，放縮另外的項； 例求證：11117+++L+ 122232n2例已知an=5n41對任何正整數m，, 排序, 再逐項比較或放縮例.已知i，m、n是正整數，且1＜i≤m＜n.(1)證明：nAim＜mAin；(2)證明：(1+m)iin＞(1+n)m二、放縮法綜合問題（一）、先求和后放縮例1．正數數列{an}的前n項的和Sn，滿足2Sn=an+1，試求：（1）數列{an}的通項公式；（2）設bn=1，數列{bn}的前n項的和為Bn，求證：Bn。3n+12n1n4．放縮后為裂項相消，再求和例已知an=n，求證：∑k=1akk＜3．