放縮法(不等式、數列綜合應用)-資料下載頁

　　

【正文】 1an\=1an11a21an+111a2006\++L+=（1a1111a211)+（1a211a31)+L+（1a200611a20071)=a11a200711=1a1a2La20061又a1a2La2006a12006=22006\11a1a2La200612006\原不等式得證。5．已知數列{an}中an=iinnn21，求證：229。ai(ai1)=1方法一：ai(ai1)=ni2121iii(21)(22)=ii1i1(21)(21)=i11121i.\229。i=1ai(ai1)(21)+（121121)+（121121)+L+（12n11121n)=3121n：ai(ai1)=ii(21)=i122+i122i122+i163。22ii1.(i179。2)n\229。i=1ai(ai1)2+++L+n1=2+(112)=3n1n1法3：數歸證\229。i=1ai(ai1)3121n3.（即轉化為證明加強命題）已知函數f(x)=ln(1+x)x，數列{an}滿足：a1=2,ln2+lnan+1=an+1an+f(an+1an)．（1）求證：ln(1+x)163。x；（2）求數列{an}的通項公式；（3）求證不等式：a1+a2+L+ann+ln2ln(n+2)． 解：（1）f(x)=ln(1+x)x，f39。(x)=11+x1=x1+x，當1x0時，f39。(x)0，即y=f(x)是單調遞增函數；當x0時，f39。(x)0，即y=f(x)是單調遞減函數．所以f39。(0)=0，即x=0是極大值點，也是最大值點f(x)=ln(1+x)x163。f(0)=0222。ln(1+x)163。x，當x=0時取到等號．（2）法1：數學歸納法（先猜想，再證明）法2：由ln2+lnan+1=an+1an+f(an+1an)得2an+1=an+1an+1，an+1=12an，an+11=12an1=an12an，1an+11=1an11，即數列237。236。252。1=2，公差為1，是等差數列，首項為253。a11238。an1254。nn+1∴an1=n1222。an=．（3）法1：a1+a2+L+an=111+1+112+1+L+111246。230。1=n231。++L+247。23n+1n+1232。248。又∵x0時，有xln(1+x)，令x=1n+1230。1232。20，則1246。n+2230。ln231。1+=ln 247。n+1n+1248。n+1232。1∴n231。+3+L+345n+1n+2246。246。230。nln+ln+ln+L+ln+ln247。231。247。 n+1248。234nn+1232。248。n+2246。n+2=nl=n+247。n+1248。2=n231。ln180。232。230。343180。L180。ln2n) (nl+∴a1+a2+L+ann+ln2ln(n+2) ． 法2：積分法要證原命題，即證：231。230。1232。2246。247。ln(n+2)ln2 n+1248。1++L+11246。230。1++L+231。247。3n+1248。232。2230。1232。2n+2242。1xdx=lnxn+22法3：數歸證明：、（1）求證：2n++L+246。247。ln(n+2)ln2 n+1248。+2n+1(n2,n206。N)nn1n01法1：2=Cn+Cn+...+Cn+Cn；法2：數學歸納法 法3：函數法（求導），證明：()+()+…+（nn*nnn1n)+（nnn)nee1提示:借助e179。1+x證明x第四篇：放縮法證明數列不等式經典例題放縮法證明數列不等式主要放縮技能： =2= nn+1n(n+1)nn(n1)n1n114411===2()22n4n1(2n+1)(2n1)2n12n+1n242.=== ===2)= ====== ==(21)2(2n1)(2n2)(2n1)(2n11)+22(n+1)n11== n(n+1)2n+1n(n+1)2n+1n2n(n+1)2n+1x2x+n*c=(n206。N)=的最小值為，最大值為，且abnnn2x+1（1）求；（2）證明：：161+{an}的前n項的和為sn，且an+2（1）求證：數列sn是等差數列； 11117+++L+ 444c14c2c34+L+17 1=2sn，n206。N*； an{}（2）解關于數列n的不等式：an+1(sn+1+sn)4n8（3）記bn=2sn,Tn=331111Tn+++L+，證明：1 2b1b2b3bn{an}滿足：237。n+2236。an252。an+1； 253。是公差為1的等差數列，且an+1=nn238。254。（1）求an；（2++L2 {an}中，已知a1=2,an+1an=2anan+1；（1）求an；（2）證明：a1(a11)+a2(a21)+a3(a31)+L+an(an1)32n+{an}滿足：a1=2,an+1=； n(n+)an+225112n（1）設bn=，求bn；（2）記=，求證：163。c1+c2+c3+L+ 162n(n+1)an+1an{an}的前n項的和為sn滿足：sn1,6sn=(an+1)(an+2)；（1）求an；（2）設數列{bn}滿足an(2n1)=1,并記Tn=b1+b2+b3+L+bn，b求證：3Tn+1log2n(a+3)（函數的單調性，貝努力不等式，構造，數學歸納法）{an}滿足：a1=1,nan+1(n+1)an=+1，anan+1記b1=a1,bn=n[a1+（1）求an；（2）證明：(1+2111++L+](n179。2)。222a2a3an11111)(1+)(1+)L(1+)4 b1b2b3bn4第五篇：2012高考專題數列與不等式放縮法高考專題——放縮法一、基本方法1.“添舍”放縮通過對不等式的一邊進行添項或減項以達到解題目的，這是常規思路。，b為不相等的兩正數，且a3－b3＝a2－b2，求證1＜a＋b＜、b、c不全為零，求證：。a+ab+b+2+bc+c2+c2+ac+a2＞3（a+b+c）2[變式訓練]已知an=2n1(n206。N*).求證：an1a1a2++...+n(n206。N*).23a2a3an+一個分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個真分式，分子、分母同時加上同一個正數則分式值變大，利用這些性質，可達到證題目的。、b、c為三角形的三邊，求證：1＜若欲證不等式含有與自然數n有關的n項和，可采用數列中裂項求和等方法來解題?！蔔*，求1+a＋b＋c＜2。a+ca+b12+1+?+1n＜2n。n(n+1)(n+1)=180。2+2180。3+L+n(n+1)，求證：an22對所有正整數n都成立。*利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡解。n2x1*(x)=x，證明：對于n206。N且n179。3都有f(n)。n+12+1(x)=+x2，求證：當a185。b時f（a）f（b）ab。對于不等式的某個部分進行換元，可顯露問題的本質，然后隨機進行放縮，可達解題目的。bc，求證++0。abbcca，b，c為△ABC的三條邊，且有a2+b2=c2，當n206。N*且n179。3時，求證：an+bn。根據題目特征，通過構造特殊的單調函數，利用其單調性質進行放縮求解。，b∈R，“因式”；a+b1+a+b163。a1+a+b1+b。n例已知數列{an}滿足an+1=a,0a1163。,求證：229。(akak+1)ak+2.232k=1n，放縮另外的項； 例求證：11117+++L+ 122232n2例已知an=5n41對任何正整數m，, 排序, 再逐項比較或放縮例.已知i，m、n是正整數，且1＜i≤m＜n.(1)證明：nAim＜mAin；(2)證明：(1+m)iin＞(1+n)m二、放縮法綜合問題（一）、先求和后放縮例1．正數數列{an}的前n項的和Sn，滿足2Sn=an+1，試求：（1）數列{an}的通項公式；（2）設bn=1，數列{bn}的前n項的和為Bn，求證：Bn。2anan+1（二）、先放縮再求和（或先求和再放縮）例、函數f（x）=4x1+4x，求證：f（1）+f（2）+?+f（n）n+12n+1(n206。N*).21．放縮后成等差數列，再求和例2．已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn,且an+an=+an+12(1)求證：Sn；(2)2．放縮后成等比數列，再求和例3．（1）設a，n∈N*，a≥2，證明：a2n(a)n179。(a+1)an；（2）等比數列{an}中，a1=，前n項的和為An，且A7，A9，A8成等差數列．設a1bn=n，數列{bn}前n項的和為Bn，證明：Bn＜．31an3．放縮后為差比數列，再求和例4．已知數列{an}滿足：a1=1，an+1=(1+n)an(n=1,2,3L)．求證： n2an+1an179。3n+12n1n4．放縮后為裂項相消，再求和例已知an=n，求證：∑k=1akk＜3．