高一數學立體幾何基礎題題庫-免費閱讀

　　

【正文】 DE⊥PA，∴ ．在Rt△DPH中，DH⊥HP，PH=2a，∴ 450. 四面體對棱長分別相等，分別是a,b,.解析： 把四面體“嵌入”棱長為x,y,z的長方體(如圖).其充分條件是有實數解如果關于x,y,z的方程組有實數解，則四面體體積V＝xyz4．　　（5）連結AC，交AD于H．連結，∵ ⊥平面ABCD，CH平面ABCD，∴ ，又∵ CH⊥BD，∴ CH⊥平面．∴ 為在平面內的射影．∴ 為與平面所成的角．設正方體棱長為1，則，∴ ，即與平面所成的角為30176。這應記作很重要的性質.429. 求棱長為a的正四面體的外接球和內切球的半徑.解析：如圖，作AH⊥底面BCD于H，則AH＝a，設內切球的球心為O，半徑為r，O點與A、B、C、D相連，得四個錐體，設底面為S，則每個側面積為S，有4PE＝＝，R＝，∴S球＝π(cm)2.425. 求證：球的外切正四面體的高是球的直徑的2倍.證明： 設球的半徑為R，正四面體的高為h，側面積為S，則有VA—BCD＝VO—ABC+VO—ABD+VO—BCD，如圖，即Sh＝4SR,∴h＝4R.426. 地球半徑為R，A、B兩地都在北緯45176。2+10.(2)過M作ME∥AD，交CD于E，連結NE，則ME⊥CD，NE⊥CD，因此，CD⊥平面MNE，∴CD⊥MN.∵AB∥CD，∴MN⊥AB(3)過N作NF∥CD，交PD于F，則AF為∠PAD的角平線，∴∠FAD＝45176。∠D＝90176。解析：用三垂線定理作點到線的垂線在平面ABCD內作AE⊥CD，E為垂足∵ VA⊥平面ABCD∴ AE為VE在平面ABCD上的射影∴ VE⊥CD∴ 線段VE長為點V到直線CD的距離∵ ∠BAD=1200∴ ∠ADC=600∴ △ACD為正三角形∴ E為CD中點，AE=∴ VE= （2）∵ AO⊥BD∴ 由三垂線定理VO⊥BD∴ VO長度為V到直線BD距離 VO= （3）只需證OF⊥BD ∵ BD⊥HC，BD⊥VA ∴ BD⊥平面VAC ∴ BD⊥OF ∴ OF為異面直線BD與VC的公垂線 （4）求出OF長度即可在Rt△VAC中OC=AC=2，VC=∴ OF=OCtan60176。設棱錐的底面邊長為a，高為h，斜高為h′，底面中心為O，連PO，則PO⊥底面ABCD，∴PO⊥AC，在△PAC中，AC=，PO=h，PABCDOE ∴ 在△PBC中，176。解析：(1)△ABP的重心注各面都是全等的正三角形的四面體，M為AD的中點，求CM與平面BCD所成角的余弦值．解析：要作出CM在平面BCD內的射影，關鍵是作出M在平面BCD內的射影，而M為AD的中點，故只需觀察A在平面BCD內的射影，至此問題解法已明朗．解　作AO⊥平面BCD于O，連DO，作MN⊥平面BCD于N，則N∈OD．設AD＝a，則OD＝，∴AO＝，∴MN＝．又∵CM＝，∴CN＝．∴CM與平面BCD所成角的余弦值為．381. 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1A的中點，N在AB上，且AN∶NB＝１∶３，求證：C1M⊥MN．解析：在空間中作出兩條直線垂直相對較在平面內作兩條直線垂直難．此題C1M與MN是相交直線，一種方法可通過勾股定理來驗證它是否垂直，另一方法為：因MN是平面A1ABB1內的一條直線，可考慮MC1在平面A1ABB1內的射影．證明１　設正方體的棱長為ａ，則MN＝，C1M＝，C1N＝，∵MN２＋MC1２＝NC1２，∴C1M⊥MN．證明２　連結B1M，∵C1B1⊥平面A1ABB1，∴B1M為C1M在平面A1ABB1上的射影．設棱長為a ，∵AN＝，AM＝，∴tan∠AMN＝，又tan∠A1B1M＝，則∠AMN＝∠A1B1M，∴B1M⊥MN，由三垂線定理知，C1M⊥MN．382. 如圖，ABCD為直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝９０176。＝S′,并且S′＝9π，所以S＝6π(米2)365. 設棱錐M—ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面積為1，試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.解析： ∵AB⊥AD，AB⊥MA，∴AB⊥平面MAD，由此，面MAD⊥面AC.記E是AD的中點，從而ME⊥AD.∴ME⊥平面AC， ME⊥EF設球O是與平面MAD、AC、平面MBC都相切的球.不妨設O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的內心.設球O的半徑為r，則r＝設AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1.∴ME＝.MF＝, r＝≤＝1當且僅當a＝，即a＝時，等號成立.∴當AD＝ME＝時，滿足條件的球最大半徑為1.366. 在正方體ABCD—A1B1C1D1中，期棱長為a.(1)求證BD⊥截面AB1C；(2)求點B到截面AB1C的距離；(3)求BB1與截面AB1C所成的角的余弦值。高一數學立體幾何基礎題題庫二361. 有一個三棱錐和一個四棱錐，棱長都相等，將它們一個側面重疊后，還有幾個暴露面?解析：有5個暴露面.如圖所示，過V作VS′∥AB，則四邊形S′ABV為平行四邊形，有∠S′VA=∠VAB=60176。同理BD1⊥AB1.∴BD1⊥面ACB1.(2)AB=BC=BB1G為△=aAG=a∴BG==a(3)∠BB1G為所求cos∠BB1G=367. 已知Ｐ為ＡＢＣＤ所在平面外一點，Ｍ為ＰＢ的中點，求證：ＰＤ∥平面ＭＡＣ．解析：　因M為PB的中點，連BD∩AC于O后，可將PD縮小平移到MO，可見MO為所求作的平行線．證明 連ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，連ＭＯ，則ＭＯ為△ＰＢＤ的中位線，∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ，∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ． 368. 如圖，在正方體ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M，N，Ｅ，Ｆ分別是棱Ｂ1Ｃ1，A1D1，Ｄ1Ｄ，ＡＢ的中點．（１）求證：Ａ1Ｅ⊥平面ＡＢＭＮ．（２）平面直線A1E與MF所成的角．解析：（１）要證A1E⊥平面ABMN，只要在平面中找到兩條相交直線與A1E都垂直，顯然MN與它垂直，這是因為MN⊥平面A1ADD1，另一方面，AN與A1E是否垂直，這是同一個平面中的問題，只要畫出平面幾何圖形，用平幾知識解決．（２）為（１）的應用．證明　（１）∵AB⊥平面A1ADD1，而Ａ1Ｅ平面A1ADD1，∴AB⊥Ａ1Ｅ．在平面A1ADD1中，A1E⊥AN，　　∵AN∩AB＝A，∴A1E⊥平面ABMN．解　（２）由（１）知A1E⊥平面ABMN，而MF平面ABMN，∴A1E⊥MF，則A1E與MF所成的角為９０176。AB＝BC＝a，AD＝２a，PA⊥平面ABCD，PA＝a．（１） 求證：PC⊥CD；（２） 求點B到直線PC的距離．解析：（１）要證PC與CD垂直，只要證明AC與CD垂直，可按實際情形畫出底面圖形進行證明．（２）從B向直線PC作垂直，可利用△PBC求高，但需求出三邊，并判斷其形狀（事實上，這里的∠PBC＝９０176。 要充分注意平面幾何中的知識(如本題中三角形重心性質，等腰三角形性質等)在證題中的運用。 ∴ ∴h:h′=. 取BC中點E，連OE，PE，可證∠PEO即為側面與底面所成兩面角的平面角。= V棱柱= ∵CAAB，∴CH，所以棱柱體積最小值3。sin∠ACF=OC∴∠CPD和二面角α—AB—β的平面∠CBD互補.：在已知二面角，從二面角的棱出發的一個半平面內的任意一點，到二面角兩個面的距離的比是一個常數.已知：二面角α—ED—β，平面過ED，A∈，AB⊥α，⊥β，垂足是C.求證：AB∶AC＝k(k為常數)證明：過AB、AC的平面與棱DE交于點F，連結AF、BF、CF.∵AB⊥α，AC⊥β.∴AB⊥DE，AC⊥DE.∴DE⊥平面ABC.∴BF⊥DE，AF⊥DE，CF⊥DE.∠BFA，∠AFC分別為二面角α—DE—，—DE—β的平面角，它們為定值.在RtΔABF中，AB＝AF而AF∥MN，∴異面直線PA與MN所成的45176。4)＝148π(cm)2,V＝π［22(3線上，且A、B的球面距離為，求A、B兩地經度的差.解析：如圖，O為球心，O1為北緯45176。．445. 如圖929，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點．求證：MN⊥AB．圖929解析：連結AC，取AC中點O，連結OM，ON．由OM∥BC，得OM⊥AB．又NO∥PA，且PA⊥AB，故NO⊥AB．由此可得AB⊥平面OMN．因此MN⊥AB．446. 如圖930，直線a、b是異面直線，它們所成角為30176。求直線PC與平面PAB所成的角的余弦值．解析：如圖答922，在PC上任取一點D，作DH⊥平面PAB于H，則∠DPH為PC與平面PAB所成的角．作HE⊥PA于E，HF⊥PB于F，連結PH，DE，DF．∵ EH、FH分別為DE、DF在平面PAB內的射影，由三垂線定理可得DE⊥PA．DF⊥PB．∵ ∠DPE=∠DPF，∴ △DPE≌△DPF．∴ PE=PF．∴ Rt△HPE≌Rt△HPF，∴ HE=HF，∴ PH是∠APB的平分線．設EH=a，則PH=2EH=2a，．在Rt△PDE中，∠DPE=60176。．　　（4）∵ ⊥平面，∴ 與平面所成的角為90176。＝R6.∴V≤R3.即 V最大＝R3.評析：定值問題可用特殊情況先“探求”，如本題(1)若先考慮PAB是大圓，探求得定值4R2可為(1)的證明指明方向.球面上任一點對球的直徑所張的角等于90176。＝2,PA＝，而AP⊥AE，∴PA2＝PD圈上有A、B兩點，它們的經度差為，求球面上A、B兩點間球面距離.解析：本題關鍵是求出∠AOB的大小，(如圖1)，以O1O，O1A，O1B為三條相互垂直的棱，可構造一個長方體，問題轉化為長方體截面ABO內求∠BOA的問題.解： 如圖2，∵∠O1OA＝＝∠O1OB，OA＝OB＝R，∴OO1＝O1A＝O1B＝R ∴AB2＝O1A2+O1B2＝R， ∴ΔAOB為等邊Δ， ∴∠AOB＝，A、B間的球面距離為R.422. 一個圓在平面上的射影圖形是( ) 解析：D423. 兩面都是凸形的鏡中，它的面都是球冠形，球半徑分別為10cm和17cm，兩球心間的距離為21cm，求此鏡面的表面積和體積.解析：軸截面如圖，設O2C＝x，則CO1＝21x,∵AB⊥O1O2 ∴AO22O2C2＝AO12CO12，即102x2＝172(21x)2，解得x＝6,CO1＝15,又設左邊球缺的高為h1,右邊的球缺高為h2，則h1＝1715＝2,h2＝106＝4,∴S表＝2π(17即二面角α—l—β的大小為45176。即C