傅里葉變換的可視化及應用研究-免費閱讀

　　

【正文】 0，我們取 我們會有或；當x為負數時，按偶函數延拓f(x)就得到前一式，按奇函數延拓就得到后一式。即，當假設積分和存在時。對于實函數f(x)這也可以被寫成以下形式（17） 直接通過對方程（16）和（17）進行驗證以獲得對這“傅里葉積分公式”的適用性的嚴格證明比之對取極限過程的合理性的判斷要來得容易。設是一無窮級數，其中為一連續且連續可導函數，而級數和對區間上的所有t絕對且一致收斂。因此，寒暑越光滑，級數的展開系數就越快的趨于零。：三角函數可以用于構建比“立方”更高維的空間正交函數組。也就是說在區間上也一致收斂于g(x)，因此自身也在任何一個不包含點x=0的閉子區間內一致收斂于h(x)。 于是可以有以下定理：任何在區間上分段光滑，并以為周期的函數可被展開為傅里葉級數；這就是說，傅里葉多項式隨n的增大收斂于f(x)。 these formulas are valid wherever the functions are continuous. Thus，under the assumption that the integrals and exist. In grneral, for n variables, we haveunder analogous assumptions. The integrations are to be performed in the order in which the differentials are written in this formula.3. Reciprocity Formulas. The Fourier integral theorem (16) takes on an especially elegant form if one sets，for, it then states that the equations，Follow from each other. If the lefthand sides are assumed to be known, these equations form a pair of socalled integral equations each of which is the solution of the other and which are mtually reciptocal. For even and odd functions we have the sets of real equations，and，.respectively. The corresponding reciprocity formulas for functions of several variable areand are certainly valid if f and g have derivatives up to the (n+1)st order in the entire space.167。 . we set . The following theorem then holds: Every function which is piecewise smooth in the interval and periodic with the period may be expanded in a Fourier series。 qiuk=Bes.*Legk。 [Q,R]=cart2pol (X,Z)。 Legl=squeeze(Leg(1,:,:))。u=1./sqrt(12.*R.*cos(Q)+R.^2)。y1=abs(filt_im)。 end。 x1=rgb2gray(a)。,3)axis([50 50 0 ])hold off：t = 0::。plot(x1,y1,39。 if(T/2+k*T/N=tao/2)amp。,39。tao=。它為我們提供了一種解決問題的思路，如果我們可以用不同的變換方法將復雜的問題分解化，將糾纏的問題分離化，我們就可以用這種變換來處理問題。將級數形式的波函數帶回薛定諤方程由球諧函數的正交性可以得出一系列分離的方程 其中。 廣義傅里葉級數的實際應用 像勒讓德函數、連帶勒讓德函數、貝賽爾函數這樣的廣義傅里葉函數都是在數學物理方程的求解過程中產生的，因此廣義傅里葉級數的應用與傅里葉級數的應用有相仿之處。像光學中干涉、衍射圖像的模擬及分析以及微分方程中近似求解，以致其他很多涉及到頻率分析的生物學、醫學、地理勘測問題也都涉及到FFT的應用。 原始圖像 夾雜周期條紋圖像 這樣的問題多出現在電視圖像信號處理及專門的圖像處理工作中。很明顯，從圖中根本無法直觀的看出原始信號的成分。唯一需要擔心的就是FFT與連續傅里葉變換的一致與否。正是由于FFT的這個顯著優勢，讓它在各領域中有著廣泛而基礎的應用。DFT也可寫為矩陣形式，即，其中 。由于我們已經知道對應的齊次泛定方程在邊界條件下的本征函數解系為。只是幅值大小相差倍。其展開形式為： （213）亦可寫為復數形式傅里葉積分： （214）其中第二式即為傅里葉變換式，第一式又稱傅里葉逆變換式。1965年，Cooley和Tukey兩人在《計算機科學》上發表了《機器計算傅里葉級數的一種算法》一文，之后 FFT開始大規模應用。17致謝5 FFT的實際應用4 DFT、FFT的數學依據傅里葉變換的重要性在于很多實際問題在頻譜空間更易處理，而快速傅里葉變換的發展則使之更便于應用。13參考文獻30一、引言傅里葉級數最初是法國數學家約瑟夫二、傅里葉級數、傅里葉變換的可視化及應用 傅里葉級數、傅里葉變換的數學依據 傅里葉級數傅里葉級數以三角函數系為展開函數，可以證明三角函數系是正交歸一①的。= H 0 ②：北京航天航空大學出版社，2003從定義式（212）可以很容易得到的k級傅里葉展開系數為，由積分命令int()計算可得，又，故有基波及諧波振幅為。傅里葉級數法的基本思想是：在已知泛定方程在給定邊界條件下的本征函數解系的前提下，將方程兩側展開為相應的傅里葉級數的形式，由本征函數系的正交性，對比系數得到一系列的關于解的各級傅里葉展開系數的相對簡單的微分方程，通過結合初始條件對這一系列微分方程進行求解得出解的各級傅里葉展開系數，從而確定原問題的解。三、DFT、FFT的可視化及應用 DFT、FFT的數學依據③，：高等教育出版社，1998，204205DFT是對離散函數的傅里葉變換。簡單地說，FFT的基本思想就是不斷地將原來N個數據點的DFT轉化為兩個低階的N/2個數據點的DFT來進行計算，以達到簡化計算的目的。直觀地為我們展現了FFT對連續傅里葉變換的近似作用；進一步也很容易看出采樣點的密集使得FFT對連續傅里葉變換的近似更加精準。可以說信號處理的根本就是把想要的信號從摻雜的信號中提取出來，那么首先，我們從一個十分基礎的信號處理問題出發，看看FFT是如何在信號處理中幫助我們完成以上想法的：：用FFT從夾雜有隨機噪聲的信號中分析出原始信號的成分。以上這個例子還是有些抽象的，雖然我們可以把信號理解為聲波信號等，但從波形信號到實際問題還有段距離。（例中作圖及FFT變換處理程序見附錄） 夾雜周期條紋圖像的FFT頻譜 處理還原后圖像當然圖像的處理效果并不完美，但這超出本文討論范圍，本例重點在于呈現FFT輔助圖像處理的基本原理，具體如何進行更好的處理可參看圖像處理的專業書籍。 從數學物理方程的知識可以知道勒讓德函數、貝賽爾函數都有自己的母函數，而這些母函數可以表達為其對應的廣義傅里葉級數的形式。分波法的思路看起來與傅里葉級數法解微分方程的思路很相似。五、傅里葉級數、傅里葉變換的意義眾所周知，我們一直將傅里葉級數、傅里葉變換、FFT看作是向頻譜空間的變換，這從其三角級數的形式本身可以看出，當然對于復數形式，我們也可以借助量子力學解釋，其展開函數正是動量的本征函數，因此傅里葉變換正是向動量空間的變換，而我們知道動量空間實際上與頻率空間是一致的。最終，總結出了它們解決實際問題的思路主體在于將復雜的問題分解化，將糾纏的問題分離化。bo39。T=2。n=fix(length(Y)/2)。b.39。figure(1)plot(t,y)axis([0 8 8])figure(2)plot(freq,2*abs(Y)/501)axis([0 500 0 2])：a=imread(39。 for i=1:M, for j=1:N, x(i,j)=x1(i,j)+100*sin(1*i+1*j)。filt_im=freq_im.*filt。：⑥[X,Z]=meshgrid((0::3),(0::2))。Uin=1。endfigure(2)meshc(X,Z,Uin)hold onmeshc(X,Z,Uout)xlabel(39。⑥：清華大學出版社，、57figure(1)surfc(X,Z,qiu)for k=1:3 Leg=legendre(k,cos(Q))。在此，對郭懷明老師表示特別的感謝！英文原文167。 thus one may hopr to obtain a representation for a nonperiodic function defined for all real x. We shall continue to assume that f(x) is piecewise smooth in every finite interval and that, at the discontinuities, the value of the function is the arithmetic mean of the righthand and lefthand limits. We now add the further assumption that the integral exists. If we set we obtainLetting , and therefore , we find that the formula（16） appears plausible。這個問題是傅里葉級數理論的中心值問題。 為了證明傅里葉級數展開對間斷但分段光滑的函數也適用，我們開始考慮如下一類特殊的函數，它由以下式子定義， ， ，這個函數在點處有大小為的階躍。因此，F(x)可以被展開為絕對且一致收斂的傅里葉級數。如果F(s,t)可以被展開為一致收斂的雙重傅里葉級數，則級數為其中 函數組的完備性，是因為完備性關系可以由單變量完備函數組構造多元完備函數組的一般定理得出。）因此我們有特殊地，當y=0時， 這里傅里葉展開被運用到一種特殊情形的無窮級數變換。我們將依然假設f(x)在任意有限區間內是分段光滑的，并且在間斷點函數值是其左右極限的算術平均值。 由于是u的偶函數，上面的式子又可寫為另一方面，是u的奇函數；所以只要積分是收斂的。對于偶函數和奇函數我們依次有如下實數方程組，和，. 對多變量函數，相應的互逆公式為當然是在f和g在全空間有直到(n+1)階的導數時適用。提供了一個非常有啟發性的例子。：如果我們令，則傅里葉積分公式（16）將變為一個相當漂亮的形式；因為它將表明方程，二者互逆。由這個公式可以得到： 我們說對t的積分可以擴張為從到。167。這里我們將利用傅里葉級數展開導出Theta函數的函數方程和泊松的一般公式 Theta函數 的函數方