數學模型微分方程模型(存儲版)

　　

【正文】 州 大 學 80 種群的相互競爭 ? 一個自然環境中有兩個種群生存，它們之間的關系：相互競爭；相互依存；弱肉強食。 11 ??對甲增長的阻滯作用，乙小于甲?乙的競爭力弱 ? P1穩定的條件： ?11, ?21 ?21 ?甲的競爭力強 甲達到最大容量，乙滅絕 ? P2穩定的條件： ?11, ?21 ? P3穩定的條件： ?11, ?21 通常 ?1 ? 1/?2， P3穩定條件不滿足 福 州 大 學 90 種群的相互依存 甲乙兩 種群的相互依存有三種形式 1) 甲可以獨自生存，乙不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。0,0:。 模型 乙為甲提供食物是甲消耗的 ?1 倍 221 Nx??甲為乙提供食物是乙消耗的 ?2 倍 ? ?1)( 222 ?? xrtx? ???????????112222 1)( Nxxrtx ?? ???????? ????22112222 1)( NxNxxrt ??福 州 大 學 92 種群依存模型的平衡點及穩定性 P2是甲乙相互依存而共生的平衡點 穩定條件 不穩定 1,1 212 ?? ???1,1,12121???????平衡點 p q)0,( 11 NP )1( 221 ?? ?rr )1( 221 ?? ?rr)0,0(3P21 rr ?? 21rr?????????????212221112 1)1(,1)1(?????? NNP2121211)1)(1(???????rr2122111)1()1(???????? rr福 州 大 學 93 平衡點 P2穩定性的相軌線 ????????????212221112 1)1(,1)1(?????? NNP),(1)( 2111221111111 xxxrNxNxxrtx ?? ????????? ???? ),(1)(212222112222 xxxrNxNxxrtx ?? ????????? ?????.0,0:。 對于消耗甲的資源而言，乙 (相對于 N2)是甲(相對于 N1) 的 ?1 倍。 0,0 ?? yx ??4）即使某時一方 (由于戰敗或協議 )軍備大減 , 如 x(t)=0， 也會因 使該方重整軍備， gkyx ??? 即存在互不信任 ( ) 或固有爭端 ( ) 的單方面裁軍不會持久。 問題及 分析 ? 在 捕撈量穩定 的條件下，如何控制捕撈使產量最大或效益最佳。 福 州 大 學 53 gr a dCkq ????模型假設 1）煙霧在無窮空間擴散，不受大地和風的影響；擴散服從熱傳導定律。 1 ?2/1)( rr ?????????? ??? ?vblaa M eQ vl21 12??煙草 為什么有作用 ? 1） Q與 a,M成正比， aM是毒物集中在 x=l 處的吸入量 2) ~過濾嘴因素， ?, l2 ~ 負指數 作用 vle 2??vla M e 2?? 是毒物集中在 x=l1 處的吸入量 3） ?(r)~ 煙草的吸收作用 b, l1~ 線性 作用 福 州 大 學 45 ?????? ????vblavbleebavawQ 12 39。 模型分析 ? 分析吸煙時毒物進入人體的過程，建立吸煙過程的數學模型。:a, a180。01 1?帶過濾嘴 不帶過濾嘴 21 b ????結果分析 4) 與另一支不帶過濾嘴的香煙比較， w0, b, a, v, l 均相同，吸至 x=l1扔掉 提高 ?b 與加長 l2，效果相同 福 州 大 學 46 人口預測和控制 )(),(,0),0( tNtrFtF m ??rFtrp???),(? 年齡分布對于人口預測的重要性 ? 只考慮自然出生與死亡，不計遷移 人口發展方程 的人口）年齡人口分布函數 rtrF ?(~),(人口密度函數~),( trp 人口總數~)( tN最高年齡~)( ??mr福 州 大 學 47 ),(),( trptrtprp ????????11,),(),()],(),([)],(),([drdtdttrptrtrpdttrpdttrpdttdrrp???????????人口發展方程 死亡率~),( tr?drtrp ),(人數年齡],[,drrrt? 死亡人數內),( dttt ?人數年齡],[,11drdrrdrrdtt????1drdt ?一階偏微分方程 dr d ttrptr ),(),(?? drdttdrrp ),( 1 ???福 州 大 學 48 ??????????????????0),(),0(0),()0,(),(),(0ttftprrprptrptrtprp?人口發展方程 ~已知函數（人口調查） ~生育率（控制人口手段） 0 t r )(0 rprt?)(tfrt?rt?)(),( rtr ?? ?????????????????rtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(0???? r dstsptrF 0 ),(),(?? mr dstsptN 0 ),()(福 州 大 學 49 ?? 21 ),(),(),()( rr drtrptrktrbtf),()(),( trhttrb ??? ?21 1),(rr drtrh?? 21 ),()( rr drtrbt?生育率的分解 性別比函數女性 )(~),( trk生育數女性 )(~),( trb 育齡區間~],[ 21 rr?? 21 ),(),(),()()( rr drtrptrktrhttf ??~總和生育率 h~生育模式 )(),( rhtrh ?0 1r 2r r福 州 大 學 50 ????????????????rtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(0???? 21 ),(),(),()()( rr drtrptrktrhttf ?人口發展方程和生育率 )(t? ~總和生育率 ——控制生育的多少 ),( trh ~生育模式 ——控制生育的早晚和疏密 ),(),( trptrtprp ????????)(tf)(0 rp),( trp)(t?? 正反饋系統 ? 滯后作用很大 福 州 大 學 51 ?? mr drtrrptNtR 0 ),()(1)(? ? ? ??? t drtr detSt?? ?0),()()(/)()( tStRt ???? mr drtrptN 0 ),()(人口指數 1）人口總數 2）平均年齡 3）平均壽命 t時刻出生的人，死亡率按 ?(r,t) 計算的平均存活時間 4）老齡化指數 控制生育率 控制 N(t)不過大 控制 ?(t)不過高 福 州 大 學 52 煙霧的擴散與消失 現象和 問題 炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴散，形成圓形不透光區域。 模型建立 1）煙霧濃度 的變化規律 ),( tzyxC熱傳導定律：單位時間通過單位法向面積的流量與濃度梯度成正比 福 州 大 學 54 21 ?????????????????????222222)]([zCyCxCkg r a d Cd i vktC??? ????VdVttzyxCtzyxCQ )],(),([2? ???? ?? tttsdtdnqQ ???1 ?VSn?1Qq?流量通過 ??? ],[ ttt內煙霧改變量??? ?????s VdVqd i vdnq ??? ?曲面積分的奧氏公式 gr a dCkq ????1）煙霧濃度 的變化規律 ),( tzyxC福 州 大 學 55 ktzyxektQtzyxC 423222)4(),(?????),()0,( zyxQzyxC ??0,222222????????????????????????? tzyxzCyCxCktC 初始條件 Q~炮彈釋放的煙霧總量 ? ~單位強度的點源函數 ? 對任意 t, C的等值面是球面 x2+y2+z2=R2。 進一步假設 1） 2）的作用為線性； 3）的作用為常數 目的 福 州 大 學 74 gkyxtx ???? ?)(?建模 軍備競賽的結局 微分方程的平衡點及其穩定性 x(t)~甲方軍備數量， y(t)~乙方軍備數量 hylxty ??? ?)(??, ? ~ 本方經濟實力的制約； k, l ~ 對方 軍備數量的刺激； g, h ~ 本方 軍備競賽的潛力。 ? 當兩個種群為爭奪同一食物來源和生存空間相互競爭時，常見的結局是，競爭力弱的滅絕，競爭力強的達到環境容許的最大容量。 2) 甲乙均可以獨自生存；甲乙一起生存 時相互提供食物、促進增長。0,0:214213212211????????xxSxxSxxSxxS????????1x2x0 21 /?N 1N1S2S3S?2P0??0??4S ?11, ?21, ?1?21 P2穩定 福 州 大 學 94 ?1?21 ~ ?21 前提下 P2存在的必要條件 結果解釋 ????????????212221112 1)1(,1)1(?????? NNP?21 ~ 甲必須為乙提供足夠的食物 ——甲為乙提供的食物是乙消耗的 ?2 倍 ?11 ~ ?21, ?1?21 的需要，且 ?1必須足夠小，才能在 ?21條件下使 ?1?21 成立 P2穩定條件：?11, ?21, ?1?21 ???????? ???221111111 1)( NxNxxrtx ?? 甲可以獨自生存 ???????? ????22112222 1)( NxNxxrtx ??乙不能獨立生存 福 州 大 學 95 種群的弱肉強食(食餌 捕食者模型 ) ? 種群甲靠豐富的天然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌 捕食者系統，如食用魚和鯊魚，美洲兔和山貓，害蟲和益蟲。 ? 乙不能獨自生存；甲乙一起生存時甲為乙提供食物、促進增長；乙的增長又受到本身的阻滯作用 (服從 Logistic規律 )。 甲對乙有同樣的作用。 福 州 大 學 79 3）若 g,h 不為零，即便雙方一時和解，使某時 x(t), y(t)很小，但因 ，也會重整軍備。 福 州 大 學 66 捕魚業的持續收獲 ? 再生資源（漁業、林業等）與非再生資源（礦業等） ? 再生資源應適度開發 ——在持續穩產前提下實現最大產量或最佳效益。 觀察的煙霧消失與煙霧對