數學模型差分方程模型(存儲版)

　　

【正文】 離散為時段，長度與年齡組區間相等，記 k=1,2,… ? 以雌性個體數量為對象 ? 第 i 年齡組 1雌性個體在 1時段內的 繁殖率 為 bi ? 第 i 年齡組在 1時段內的死亡率為 di, 存活率 為 si=1 di 福 州 大 學 30 1,2,1),()1(1 ????? nikxskx iii ?假設 與 建模 xi(k)~時段 k第 i 年齡組的種群數量 )()1( kLxkx ??)0()( xLkx k?Tn kxkxkxkx )](),(),([)( 21 ??~按年齡組的分布向量 預測任意時段種群按年齡組的分布 ???????????????????????000000121121nnnsssbbbbL????~Leslie矩陣 (L矩陣 ) )()1(11 kxbkx inii????(設至少 1個 bi0) 福 州 大 學 31 穩定狀態分析的數學知識 nkk ?,3,2,1 ?? ??? L矩陣存在 正單特征根 ?1， ? 若 L矩陣存在 bi, bi+10, 則 nkk ,3,2,1 ??? ??)0()( xLkx k? 11 )],([ ?? Pd i a gPL n?? ?P的第 1列是 x* )0()0,0,1()(lim 11xPP d i a gkx kk???? ??Tnnssssssx ?????????11121212111* ,1?????特征向量 *1)(lim cxkxkk ??? ?, c是由 bi, si, x(0)決定的常數 且 解釋 L對角化 11 )],([ ?? Pd i a gPL knkk ?? ?*cx?福 州 大 學 32 *)()1 xckx k??)()1()2 kxkx ???穩態分析 ——k充分大種群按年齡組的分布 *1 )(l i m cxkx kk ??? ?~ 種群按年齡組的分布趨向穩定，x*稱穩定分布 , 與初始分布無關。 2）構造成對比較陣 用成對比較法和 1~9尺度，構造各層對上一層每一因素的成對比較陣。 正互反陣的最大特征根是正數，特征向量是正向量。 層次分析法的局限 ? 囿舊 ——只能從原方案中選優，不能產生新方案； ? 粗略 ——定性化為定量，結果粗糙； ? 主觀 ——主觀因素作用大，結果可能難以服人。 回路長度 ~ 構成回路的邊數 回路符號 ~ 構成回路的各有向邊符號 +1或 1之乘積 ak~長度為 k的回路符號和 r~使 ak不等于 0的最大整數 ? S*沖量穩定 ? )1,2,1( ????? rkaaa r krk ?,1??ra? 若 S*沖量穩定，則 S*值穩定 ? 1???r1kka+ + + + + + + v2 ?v1 v3 v4 v6 v7 v5 福 州 大 學 79 簡單沖量過程 S*的穩定性 a1=0, a2= (1)v1v2? (1)v2v1 =1 a3=(+1)v1v3v5v1+(1)v1v4v7v1 +(+1)v1v3v2v1=1, a4=0, a5=1, r=5 ? S*沖量穩定 ? )1,2,1( ????? rkaaar krk ?,1??ra352 aaa ??? (1)v1v2?(+1)v1v2(由鼓勵利用變為限制利用 )? a2 =1 + S*沖量不穩定 )1()( 2352 ???? ?????fA的 特征多項式 且為單根12/)31(,1,0,0???????? iiS*沖量穩定 ? S*沖量穩定 ? |? | ? 1且均為單根 v1~利用量 , v2~價格 v7 + + + + + + + v2 ?v1 v3 v4 v6 v5 福 州 大 學 80 ? 若 S*沖量穩定，則 S*值穩定 ? 1???r1kka}1,0,1,1,0{},{ 54321 ??aaaaa? S*沖量穩定 ? )1,2,1( ????? rkaaar krk ?,1??rav3—能源生產率 v5—工業產值 1,1, 5353 ???? aaaa(1)v3v5 違反客觀規律 S*值不穩定 S*值穩定 (+1)v3v5 ?(1)v3v5 能源利用系統的值不應穩定？ + + + + + + + v2 ?v1 v3 v4 v6 v7 v5 + 福 州 大 學 81 效益的合理分配 11321 ??? xxx457323121??????xxxxxx例 甲乙丙三人合作經商，若甲乙合作獲利 7元， 甲丙合作獲利 5元，乙丙合作獲利 4元， 三人合作獲利 11元。 福 州 大 學 92 ),( 1 nbbb ??記設只知道 ~)\( iIvbi ?無 i 參加時 n1方合作的獲利 ~)( IvB ?及 全體合作的獲利 0),( 21 ?? in xxxxxB ?的分配求各方對獲利),(),7,5,4(11 321 xxxxbB ??? 求，即已知求解合作對策的其他方法 例 . 甲乙丙三人合作經商，若甲乙合作獲利 7元， 甲丙合作獲利 5元，乙丙合作獲利 4元，三人 合作獲利 11元。 1)()32()31()21(,0)3()2()1(,0)(????????Ivvvvvvvv????雖然 3派人數相差很大 若每個派別的成員同時投贊成票或反對票，用 Shapley合作對策 計算 各派別在團體中的權重。 無法排名 2, 3隊， 4, 5隊無法排名 6支球隊比賽結果 …… 3?2， 4 ?5 排名 132456 合理嗎 福 州 大 學 66 1 2 3 (1) 1 2 3 (2) 1 2 3 4 (1) 1 2 3 4 (2) 1 2 3 4 (3) 1 2 3 4 (4) 循環比賽的結果 ——競賽圖 每對頂點間都有邊相連的有向圖 3個頂點的競賽圖 名次 {1， 2， 3} {(1,2,3)}并列 {1, 2, 3, 4} {2,(1,3,4)} {(1,3,4), 2} 4個頂點的競賽圖 名次 {(1,2),(3,4)} {1, 2, 3, 4}? 福 州 大 學 67 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 (1) (2) (3) 1 2 3 4 (4) 競賽圖的3種形式 ? 具有唯一的完全路徑，如 (1)； ? 雙向連通圖 ——任一對頂點存在兩條有向路徑相互連通，如 (4)； ? 其他，如 (2)， (3) 。 成對比較 Ci:Cj (直接比較） aij ~ 1步強度 )( )2(2 ijaA ? sjnsisij aaa ???1)2(aisasj~ Ci通過 Cs 與 Cj的比較 aij(2) ~ 2步強度 更能反映 Ci對 Cj 的強度 步強度kaaA kijkijk ~),( )()(?多步累積效應 體現 多步累積效應 ),1, )()()()(00 nsaaaakkkji kjskiskjskis ??????? （或定理 1 weAeeAkTkk???l i m 特征向量體現 多步累積效應 當 k足夠大 , Ak第 i行元素反映 Ci的權重 求 Ak的行和 福 州 大 學 60 完全層次結構：上層每一元素與下層所有元素相關聯 不完全層次結構 設第 2層對第 1層權向量w(2)=(w1(2),w2(2))T已定 第 3層對第 2層權向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)T w2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得 討論由 w(2),W(3)=(w1(3), w2(3))計算 第 3層對第 1層權向量w(3） 的方法 貢獻 O 教學 C1 科研 C2 P2 P1 P3 P4 例 : 評價教師貢獻的層次結構 P1,P2只作教學 , P4只作科研 , P3兼作教學、科研。 ? 處理問題類型：決策、評價、分析、預測等。 層次分析法將定性分析與定量分析結合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結果。 減肥計劃 3）給出達到目標后維持體重的方案。福 州 大 學 1 市場經濟中的蛛網模型 減肥計劃 ——節食與運動 差分形式的阻滯增長模型 按年齡分組的種群增長 第七章 差分方程模型 福 州 大 學 2 市場經濟中的蛛網模型 問 題 供大于求 現 象 商品數量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩定 當不穩定時政府能采取什么干預手段使之穩定 價格下降 減少產量 增加產量 價格上漲 供不應求 描述商品數量與價格的變化規律 數量與價格在振蕩 福 州 大 學 3 蛛 網 模 型 g x0 y0 P0 f x y 0 xk~第 k時段商品數量； yk~第 k時段商品價格 消費者的需求關系 )( kk xfy ?生產者的供應關系 減函數 增函數 供應函數 需求函數 f與 g的交點 P0(x0,y0) ~ 平衡點 一旦 xk=x0，則 yk=y0, xk+1,xk+2,…=x 0, yk+1,yk+2, …=y 0 )(1 kk yhx ??)( 1?? kk xgy福 州 大 學 4 x y 0 f g y0 x0 P0 設 x1偏離 x0 x1 x2 P2 y1 P1 y2 P3 P4 x3 y3 ?????? 32211 xyxyx0321 PPPP ???? ?00 , yyxx kk ??P0是穩定平衡點 P1 P2 P3 P4 P0是不穩定平衡點 gf KK ?x y 0 y0 x0 P0 f g )( kk xfy ? )(1 kk yhx ?? )( 1?? kk xgy00 , yyxx kk ??? ? gf KK ?曲線斜率 蛛 網 模 型 0321 PPPP ???? ?? 福 州 大 學 5 )( kk xfy ?)(1 kk yhx ??在 P0點附近用直線近似曲線 )0()( 00 ????? ?? xxyy kk)0()( 001 ????? ?? yyxx kk)( 001 xxxx kk ????? ?? )()( 0101 xxxx kk ????? ??1???P0穩定 P0不穩定 0xxk ???kxfK?? gK??/1)/1( ?? ?)/1( ?? ?1???方 程 模 型 gf KK ?gf KK ?方程模型與蛛網模型的一致 福 州 大 學 6 )( 00 xxyy kk ???? ?? ~ 商品數量減少 1單位 , 價格上漲幅度 )( 001 yyxx kk ???? ?? ~ 價格上漲 1單位 , (下時段 )供應的增量 考察 ? , ? 的含義 ? ~ 消費者對需求的敏感程度 ? ~ 生產者對價格的敏感程度 ?小 , 有利于經濟穩定 ? 小 , 有利于經濟穩定 結果解釋 xk~第 k時段商品數量； yk~第 k時段商品價格 1??? 經濟穩定 結果解釋 福 州 大 學 7 經濟不穩定時政府的干預辦法 1. 使 ? 盡量小，如 ?=0 以行政手段控制價格不變 2. 使 ? 盡量小，如 ? =0 靠經濟實力控制數量不變 x