不等式的證明方法5篇-文庫吧在線文庫

　　

【正文】 自然數)2n 分析 與自然數有關的問題,=K時成立,需證n=K+1時也成立,需證明K+K+1K+1,可采用“湊項”的方法： K+1KK+1+1KK+1K+11===K+1K+1K+1K+1K+111+12=2+12=2+2,右邊=2,所以, 2 證：(1)當n=2時,左邊=左邊右邊.(2)假設n=K時, 1111+11+?+K成立,則當n=K+1時, 2K+1111+?++ K+K+12K+1KKK+1+1K+1 =KK+1K+1=K+1=K+1K+1綜上所述： （1）利用特殊值證明不等式11+11+?+n 2n特殊性存在于一般規律之中,（共13頁）數學系數學與應用數學專業2009級年論文(設計) 已知ab,b0,a+b=（a+）(b+)≥185。a2+b2+c2ab+bc+ca。44a+1+294=2a+13 注意到對稱有：94(a+b+c+d)+1317(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)163。1, 這時 1121,1,179。,所以,且當 163。231。 證： 設A=180。352n+142n12342n12n由于,188。188。1時,Δ=b24ac≥0,即14(1y)2≥0，所以 |y1|≤,即≤y≤.又當y=1時,方程的解x=0，x2+x+113故 ≤2≤.x+122121232（5）放縮法第10頁（共13頁）數學系數學與應用數學專業2009級年論文(設計)為了證明不等式的需要,有時需舍去或添加一些項,使不等式一邊放大或縮小,[5]設a,b為不相等的兩個正數,且a3b3=a+b.證： 由題設得a3b3=a2b2222。k的n成立可推出P(k+1)成立，1)成立，則P(n)對所有n成立.(5)、(最小數原理)自然數集的非空子集中必有一個最小數.(6)、若P)且若P(k),P(k+1)成立可推出P(k+2)成立，則P(n)1(,P(2)成立，對所有n成立.(7)、(無窮遞降法)若P(n)對某個n成立可推出存在n1n，使得P(n1)成立，則P(n)，還有螺旋歸納法(又叫翹翹板歸納法)：設有兩個命題P(n),Q(n)，若P(1)成立，又從P(k)成立可推出Q(k)成立，并且從Q(k)成立可推出P(k+1)成立，其中k為任給自然數，則P(n),Q(n)對所有n都成立，若能注意運用變形和放縮等技巧，,n有關，可考慮用二重數學歸納法，即若要證命題P(m,n)對所有m,n成立，可分兩步：①先證P(1,n),P(m,1)對所有m,n成立；②設P(m+1,n),P(m,n+1)成立，證明P(m+1,n+1)，數學歸納法與其它方法的綜合運用，例如，證明n229。a+b+4(a+b)+8179。a+(1a)+4+8179。252.證法五：(放縮法)∵a+b=1∴左邊＝(a+2)+(b+2)233。.232。+231。R，所以D=442(13y)179。AniBi179。0，B179。2248。2525230。a+b246。=a+b+4=233。所以(a)0，這與231。237。R,a+b=1\b=1a\(a+2)+(b+2)252=a+b+4(a+b)12=2(a12)179。r163。188。180。1212342n11.2n2n+132n1242n,B=180。同理有0(1b)b≤,0(1c)c≤.即（1a)b(1b)c(1c)a≤② 641414第9頁（共13頁）數學系數學與應用數學專業2009級年論文(設計)①與②產生矛盾,從而原命題成立.（3）構造法在證明不等式時,有時通過構造某種模型、函數、恒等式、向量、對偶式等, 求證180。1,求證：| x2+2xyy2|≤：令x=rcosq,y=rsinq則 | x2+2xyy2|=|r2(cos2q+2sinqcosqsin2q| =r2|cos2q+sin2q| = r2|2sin(2q+450)|≤1180。165。2bc,a0,\a(b2+c2)179。99, 又a+b+c=1得 163。+1≤na1a2188。R時，即 1+2x4179。,y,z∈R+，求證：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz錯解：∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz錯因：根據不等式的性質：若a ＞b＞ 0，c ＞d ＞0,則ac bd，但 ac＞bd卻不一定成立 正解：x2y2+y2z2≥ 2x y2z，y2z2+z2x2≥ 2x yz2，x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，以上三式相加，化簡得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz(x+y+z)，兩邊同除以x+y+z:x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz 設x+y0，n為偶數，求證yn1xn+xn1yn≥1x 1y錯證：∵yn1xn+xn1yn1x1y=(xnyn)(xn1yn1)xnynn為偶數，∴ xnyn ＞0，又xnyn和xn1yn1同號，∴yn1xn+xn1yn≥ 1x1y錯因：在x+y0的條件下，n為偶數時，xnyn和xn1yn1不一定同號，應分x、y同號和異號兩種情況討論。例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（當且僅當a=b=c時等號成立）證明：∵a、b、c∈R+∴a3+b3+c3=12 ［(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)］≥12 ［(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)］=12［a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)］≥12(a證明：解設p+q＞2，那么p＞2q∴p3＞（2q）3=812q+6q2q3將p3+q3 =2，代入得 6q212q+6＜0即6（q1）2＜0 由此得出矛盾∴p+q≤2練習7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞：a＞0，b＞0，c＞08數學歸納法與自然數n有關的不等式，通常考慮用數學歸納法來證明。例若x、y∈R+,且 xy=1 A=(x1y)(y+1y)。當求證的不等式兩端是分項式（或分式）時，常用作差比較，當求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數式時常用作商比較）例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab2分析：由題目觀察知用“作差”比較，然后提取公因式，結合a+b≥0來說明作差后的正或負，從而達到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負。(x)=1x中原工學院可見，f(x)=xlnx在xf(a+b+c3)163。ancosx232。b246。2230。a22+證明 231。ansinxcosx232。i=1248。=n229。1247。230。．n232。=1n因此不等式（3）成立，[1718]n例23 設ai206。A2+b1B2，2a22b22a22a2ABA2+b2nbna2同理163。b2i（1）i=1i=1i=1nn令 229。na1a2Lan，當且僅當na1=a2=L= 證明柯西不等式(229。 設 f(x)=sinx，則sinxsiny=(xy)sin162。(a,b)) 19 證明不等式ex1+x，x185。(x)179。2證明 f(x)=cos2x+3sinx=12sin當sinx=+3sinx=2231。亂序和163。a2163。1，z2163。32180。n232。230。(A)=0， 設A,B,C為三角形的三內角，求證：sin證明 由標準化定理得，當A=B=C時，sinA2=sinB2=sinA2sinC2B2=sin12C2A2sinB2sinC2163。p，且x1+x2+L+xn為常數，則當xi的值之間越接近時，f(x1,x2,L,xn)[7]的值越大（或不變）；當x1=x2=L=xn時，f(x1,x2,L,xn)取最大值，即中原工學院nf(x1,x2,L,xn)=sinx1sinx2Lsinxn163。R，且x2+y2=1，求證：yax163。3248。3248。at247。1246。1246。ab+ab=2ab，不等式成立；（2）若n=k時，ak+bk179。L180。34180。a1+a2+L+an180。2ba180。)2ab=a+b2ab2a+b2179。b248。1，故 b179。5656180。L180。N，n185。an1b+在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當的輔助未知數， 已知：a+b+c=1，求證：ab+bc+ca163。233。231。234。235。.借助三角變換， 已知：a2+b2=1，x2+y2=1，求證：ax+by163。0，解得 m163。162。1246。+1247。n248。1，a2+b2163。z2163。bn，則有a1bn+a2bn1+L+anb1163。R+，且ab，求證：a+mb+m()以b為斜邊，使BD=m，延長AC至E，使ED^AD，過C作AD的平行線交DE于F，則DABC∽DADE，令CE=n，所以 a=AB=a+m又CECF，即nm，所以bACb+na+mab+ma+mb+n=中原工學院 利用函數證明不等式通過變換，把某些問題歸納為求函數的極值， 設x206。481當sinx=1時，f(x)min= 4163。(x)163。0時，f(x)f(0)=0，從而證得ex1+x,x185。(3r)3(x0,y0,z0,111x+y+z=1r).令x=a,y=b,z=c,則r=(1+1+1abc)1,代入不等式有abc179。a229。aibi即i=1AB163。abi=11ABii)163。231。n246。=231。231。232。N，求證：n+22n+22230。n+2b246。sinxcosx248。232。n+2(cosx)2nn+2即asinxn= an+2+bn+2n+2+230。abc, 其中a,b, 設 f(x)=xlnx,x(x)的一階和二階導數f162。aabbcc.第二篇：證明不等式方法不等式的證明是高